Calcule a integral iterada. integral1^2 integralz^2 integral0^raiz3 y yx^2+y^2 d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral tripla, que significa integrar uma função em três dimensões. O enunciado é integral1^2 integralz^2 integral0^raiz3 y yx^2+y^2 , dx , dy , dz. Para resolver isso, vamos precisar usar integração iterada, que é integrar uma variável de cada vez, respeitando os limites de integração. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte mais interna da integral, que é em relação a x: integral0^raiz3 y yx^2+y^2 , dx. Aqui, temos que integrar uma função que tem a forma yx^2+y^2. Isso se parece com a derivada do arco-tangente, então vamos lembrar que:
integral ax^2 + a^2 , dx = arctan(xa) + C
No nosso caso, a = y, então:
integral yx^2+y^2 , dx = arctan(xy) + C
Agora, aplicamos os limites de x de 0 a raiz3 y:
arctan(raiz3 yy) - arctan(0y) = arctan(raiz3) - arctan(0)
Sabemos que arctan(raiz3) = pi3 e arctan(0) = 0, então a integral fica:
pi3 - 0 = pi3

Passo 3

Agora que resolvemos a integral em relação a x, o próximo passo é integrar isso em relação a y. A integral atual ficou:
integral1^2 integralz^2 pi3 , dy , dz
Como pi3 é uma constante em relação a y, podemos simplificar:
pi3 integral1^2 integralz^2 , dy , dz
Vamos primeiro integrar em relação a y:
integralz^2 , dy = y |z^2 = 2 - z
Então, a expressão fica:
pi3 integral1^2 (2 - z) , dz

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a z:
pi3 integral1^2 (2 - z) , dz
Vamos calcular a integral:
integral1^2 (2 - z) , dz = integral1^2 2 , dz - integral1^2 z , dz
Primeiro, integral1^2 2 , dz = 2z |1^2 = 2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2.
Segundo, integral1^2 z , dz = z^22 |1^2 = 42 - 12 = 2 - 0.5 = 1.5.
Então, a integral total é 2 - 1.5 = 0.5.
Multiplicando pela constante pi3:
pi3 times 0.5 = pi6

Resposta

A integral tripla vale pi6.

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