Calcule a integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral tripla, que significa integrar uma função em três dimensões. O enunciado é . Para resolver isso, vamos precisar usar integração iterada, que é integrar uma variável de cada vez, respeitando os limites de integração. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte mais interna da integral, que é em relação a : . Aqui, temos que integrar uma função que tem a forma . Isso se parece com a derivada do arco-tangente, então vamos lembrar que:
No nosso caso, , então:
Agora, aplicamos os limites de de a :
Sabemos que e , então a integral fica:

Passo 3

Agora que resolvemos a integral em relação a , o próximo passo é integrar isso em relação a . A integral atual ficou:
Como é uma constante em relação a , podemos simplificar:
Vamos primeiro integrar em relação a :
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a :
Vamos calcular a integral:
Primeiro, .
Segundo, .
Então, a integral total é .
Multiplicando pela constante :

Resposta

A integral tripla vale .

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b-
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