Calcule a integral iterada. integral1 / 3^1 / 2 integral0^pi integral0^1 z x sen x y d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla: . Aqui, estamos lidando com integrais iteradas, que é um assunto de cálculo sobre como integrar uma função em várias variáveis. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo em cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^1 z x sin(x y) , dz = x sin(x y) integral0^1 z , dz = x sin(x y) [ z^22 ]0^1 = x sin(x y) ( 12 - 0 ) = 12 x sin(x y) . A função que vamos integrar é . Como e são consideradas constantes nessa etapa, a integral de é simples:

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^pi 12 x sin(x y) , dy = 12 x [ -cos(x y)x ]0^pi = 12 x ( -cos(x pi)x + cos(0)x ) = 12 ( -cos(x pi) + 1 ) . A expressão que temos é 12 (1 - cos(x pi)) . A integral de em relação a é:
Simplificando:

Passo 4

Por último, vamos integrar essa expressão em relação a integral1/3^1/2 12 (1 - cos(x pi)) , dx = 12 integral1/3^1/2 (1 - cos(x pi)) , dx , de 12 [ integral1/3^1/2 1 , dx - integral1/3^1/2 cos(x pi) , dx ] = 12 [ ( x )1/3^1/2 - ( sin(x pi)pi )1/3^1/2 ] a 12 [ ( 12 - 13 ) - ( sin(pi2)pi - sin(pi3)pi ) ] = 12 [ 16 - ( 1pi - raiz3/2pi ) ] = 12 [ 16 - 2 - raiz32pi ] :
Integrando termo a termo:
Calculando os limites:

Resposta

A integral iterada vale:
112 - 2 - raiz34pi

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