Calcule a integral iterada.
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^x y z d y d z d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração iterada juntos! A gente precisa calcular a integral tripla:
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 integral0^x y z , dy , dz , dx
Esse tipo de problema está na matéria de Cálculo Integral, especificamente em integrais múltiplas. Para resolver, vamos integrar passo a passo, começando da parte mais interna para a mais externa.

Passo 2

Primeiro, a gente foca na integral mais interna, que é em relação a integral0^x y z , dy . A expressão que vamos integrar é . Como é tratado como uma constante nessa etapa, a integral fica:

Passo 3

Vamos resolver essa integral em z integral0^x y , dy . Como z [ y^22 ]0^x = z ( x^22 - 0 ) = z x^22 é constante, podemos tirá-lo de fora da integral:
Agora, integramos em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral do meio, que é em relação a integral0^raiz9 - x^2 z x^22 , dz :
x^22 integral0^raiz9 - x^2 z , dz
Vamos tirar a constante para fora:

Passo 5

Agora, integramos x^22 [ z^22 ]0^raiz9 - x^2 = x^22 ( (9 - x^2)2 - 0 ) = x^2(9 - x^2)4 em relação a :

Passo 6

Por fim, substituímos esse resultado na integral mais externa, que é em relação a integral0^3 x^2(9 - x^2)4 , dx :
14 integral0^3 x^2(9 - x^2) , dx
Vamos tirar a constante para fora:

Passo 7

Agora, expandimos a expressão dentro da integral:
14 integral0^3 (9x^2 - x^4) , dx
Então, integramos termo a termo:
14 [ 9x^33 - x^55 ]0^3 = 14 [ 3x^3 - x^55 ]0^3

Passo 8

Agora, avaliamos de 0 a 3:
14 ( 3(3)^3 - (3)^55 - ( 0 - 0 ) ) = 14 ( 81 - 2435 ) = 14 ( 405 - 2435 ) = 14 cdot 1625 = 16220 = 8110 = 8,1

Resposta

O valor da integral iterada é 8,1.

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