Calcule a integral integral triplaE(x^2+y z) d V, onde
E=(x, y, z) mid 0 <= x <= 2,-3 <= y <= 0,-1 <= z <= 1
usando três ordens diferentes de integração.

Passo 1

Vamos calcular a integral tripla , onde a região é definida por , e . Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Para resolver, precisamos escolher três ordens diferentes de integração e calcular cada uma delas passo a passo.

Passo 2

Primeira Ordem de Integração: integral-1^1 integral-3^0 integral0^2 ( x^2 + y z ) dx, dy, dz
Primeiro, fixamos a ordem de integração como integral0^2 ( x^2 + y z ) dx = [ x^33 + y z x ]0^2 = 83 + 2 y z primeiro, depois e por último .
A integral fica:
Agora, vamos integrar em relação a :

Passo 3

Continuando com a integração em relação a integral-3^0 ( 83 + 2 y z ) dy = 83 integral-3^0 dy + 2 z integral-3^0 y , dy = 83 times 3 + 2 z [ y^22 ]-3^0 = 8 + 2 z ( 0 - 92 ) = 8 - 9 z :

Passo 4

Agora, integramos em relação a integral-1^1 ( 8 - 9 z ) dz = 8 integral-1^1 dz - 9 integral-1^1 z , dz = 8 times 2 - 9 times 0 = 16 :

Passo 5

Segunda Ordem de Integração: integral0^2 integral-1^1 integral-3^0 ( x^2 + y z ) dy, dz, dx
Agora, mudamos a ordem para integral-3^0 ( x^2 + y z ) dy = x^2 integral-3^0 dy + z integral-3^0 y , dy = x^2 times 3 + z [ y^22 ]-3^0 = 3 x^2 + z ( 0 - 92 ) = 3 x^2 - 92 z primeiro, depois e por último .
A integral fica:
Integraremos primeiro em relação a :

Passo 6

Continuando com a integração em relação a integral-1^1 ( 3 x^2 - 92 z ) dz = 3 x^2 integral-1^1 dz - 92 integral-1^1 z , dz = 3 x^2 times 2 - 92 times 0 = 6 x^2 :
integral0^2 6 x^2 dx = 6 times [ x^33 ]0^2 = 6 times 83 = 16
Por último, integramos em relação a :

Passo 7

Terceira Ordem de Integração: integral-3^0 integral0^2 integral-1^1 ( x^2 + y z ) dz, dx, dy
Por fim, escolhemos a ordem integral-1^1 ( x^2 + y z ) dz = x^2 integral-1^1 dz + y integral-1^1 z , dz = x^2 times 2 + y times 0 = 2 x^2 primeiro, depois e por último .
A integral fica:
Integraremos primeiro em relação a :

Passo 8

Continuando com a integração em relação a integral0^2 2 x^2 dx = 2 times [ x^33 ]0^2 = 2 times 83 = 163 :
integral-3^0 163 dy = 163 times 3 = 16
Por último, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral tripla é igual a .

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