Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Abaixo do cone
e acima do disco
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar coordenadas polares para encontrar o volume do sólido que está abaixo do cone
e acima do disco
. Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de volumes usando integrais múltiplas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que representa o cone
. Essa equação pode ser reescrita em coordenadas polares, onde
e
. Substituindo, temos:
Então, em coordenadas polares, a equação do cone fica
.
Passo 3
Agora, o disco
também pode ser traduzido para coordenadas polares. Sabemos que
, então a desigualdade fica:
Isso significa que nosso domínio para
vai de 0 a 2, e para
, vai de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Para encontrar o volume entre o cone e o disco, vamos integrar a função
sobre a área do disco. Em coordenadas polares, o elemento de área
é dado por
. Assim, o volume
é:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna primeiro, com respeito a
:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa e calculamos com respeito a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano
e acima do retangulo
.
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral tripla.
, onde
está abaixo do plano
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
e
Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
e