Utilize coordenadas polares para detrminar o volume do sólido dado. Abaixo do cone z = raiz(x^2 + y^2) e acima do disco x^2 + y^2 <= 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar coordenadas polares para encontrar o volume do sólido que está abaixo do cone e acima do disco . Basicamente, estamos trabalhando com cálculo de volumes usando integrais múltiplas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa o cone . Essa equação pode ser reescrita em coordenadas polares, onde e . Substituindo, temos:
Então, em coordenadas polares, a equação do cone fica .

Passo 3

Agora, o disco também pode ser traduzido para coordenadas polares. Sabemos que , então a desigualdade fica:
Isso significa que nosso domínio para vai de 0 a 2, e para , vai de 0 a para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Para encontrar o volume entre o cone e o disco, vamos integrar a função sobre a área do disco. Em coordenadas polares, o elemento de área é dado por . Assim, o volume é:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna primeiro, com respeito a :

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa e calculamos com respeito a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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