Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular uma integral iterada, que é basicamente uma integral dentro de outra integral. Aqui, a função que vamos integrar é , e os limites de integração são de de 0 a 4 e de de 0 a 2. Para resolver isso, vamos precisar saber como resolver integrais simples e entender como funcionam as integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral iterada. É quando você tem uma função que depende de duas variáveis, e , e integra primeiro em relação a uma variável e depois na outra. No nosso caso, a função só depende de , então a integral em relação a será mais simples.
Passo 3
Vamos começar pela primeira integral, que é em relação a . A função que vamos integrar é . Como essa função não depende de , a integral dela em relação a de 0 a 4 é simplesmente multiplicada pela largura do intervalo de .
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a , de 0 a 2:
Vamos resolver essa integral termo a termo.
Para o termo :
Para o termo :
Então, a integral completa fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração, 8(2)^3 - 4(2)^2 = 8 times 8 - 4 times 4 = 64 - 16 = 48 e 8(0)^3 - 4(0)^2 = 0 - 0 = 0 :