Calcule a integral iterada.
integral0^4 integral0^2(6 x^2-2 x) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular uma integral iterada, que é basicamente uma integral dentro de outra integral. Aqui, a função que vamos integrar é , e os limites de integração são de de 0 a 4 e de de 0 a 2. Para resolver isso, vamos precisar saber como resolver integrais simples e entender como funcionam as integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral iterada. É quando você tem uma função que depende de duas variáveis, e , e integra primeiro em relação a uma variável e depois na outra. No nosso caso, a função só depende de , então a integral em relação a será mais simples.

Passo 3

Vamos começar pela primeira integral, que é em relação a integral0^4 (6x^2 - 2x) ,dy = (6x^2 - 2x) times (4 - 0) = (6x^2 - 2x) times 4 = 24x^2 - 8x . A função que vamos integrar é . Como essa função não depende de , a integral dela em relação a de 0 a 4 é simplesmente multiplicada pela largura do intervalo de .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^2 (24x^2 - 8x) ,dx , de 0 a 2:
integral 24x^2 ,dx = 24 times x^33 = 8x^3
Vamos resolver essa integral termo a termo.
Para o termo integral -8x ,dx = -8 times x^22 = -4x^2 :
8x^3 - 4x^2 |0^2
Para o termo :
Então, a integral completa fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração, 8(2)^3 - 4(2)^2 = 8 times 8 - 4 times 4 = 64 - 16 = 48 e 8(0)^3 - 4(0)^2 = 0 - 0 = 0 :
Para 48 - 0 = 48 :
Para :
Então, a diferença é:

Resposta

A integral iterada vale 48.

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