Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o sólido cujo volume é dado por uma integral dupla. O enunciado é:
Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais iteradas, onde a gente integra uma função sobre uma região no plano XY para encontrar o volume no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que está sendo integrada:
. Essa é uma superfície parabólica invertida, pois os termos
e
estão subtraídos. O gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, com o vértice no ponto (0,0,2).
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração. Tanto
quanto
variam de 0 a 1. Isso significa que vamos considerar o quadrado no plano XY onde
e
.
Passo 4
Para esboçar o sólido, imaginamos a base sendo esse quadrado no plano XY. A superfície superior do sólido é definida por
. Assim, o sólido é tudo que está abaixo dessa superfície e acima do quadrado
no plano XY.
Passo 5
Vamos visualizar: no ponto (0,0),
; nos pontos (1,0) e (0,1),
; e no ponto (1,1),
. Então, o sólido tem sua altura diminuindo conforme nos afastamos da origem no plano XY, formando uma espécie de “cúpula” parabólica sobre o quadrado.
Passo 6
Resumindo, o sólido é limitado pelo plano
(base), pelas linhas
a
e
a
no plano XY, e pela superfície parabólica
.
Resposta
O sólido é a região acima do quadrado
e
no plano XY e abaixo da superfície parabólica
, formando uma “cúpula” invertida sobre o quadrado.
Exercícios relacionados
Derive:
.
Calcule a integral iterada.
Derive:
.
Encontre as dimensões de um retângulo com área de
cujo perímetro seja o menor possível.