Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o sólido cujo volume é dado por uma integral dupla. O enunciado é:
Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando integrais iteradas, onde a gente integra uma função sobre uma região no plano XY para encontrar o volume no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que está sendo integrada: . Essa é uma superfície parabólica invertida, pois os termos e estão subtraídos. O gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, com o vértice no ponto (0,0,2).

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração. Tanto quanto variam de 0 a 1. Isso significa que vamos considerar o quadrado no plano XY onde e .

Passo 4

Para esboçar o sólido, imaginamos a base sendo esse quadrado no plano XY. A superfície superior do sólido é definida por . Assim, o sólido é tudo que está abaixo dessa superfície e acima do quadrado no plano XY.

Passo 5

Vamos visualizar: no ponto (0,0), ; nos pontos (1,0) e (0,1), ; e no ponto (1,1), . Então, o sólido tem sua altura diminuindo conforme nos afastamos da origem no plano XY, formando uma espécie de “cúpula” parabólica sobre o quadrado.

Passo 6

Resumindo, o sólido é limitado pelo plano (base), pelas linhas a e a no plano XY, e pela superfície parabólica .

Resposta

O sólido é a região acima do quadrado e no plano XY e abaixo da superfície parabólica , formando uma “cúpula” invertida sobre o quadrado.

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Derive:
.
Calcule a integral iterada.
Derive:
.
Encontre as dimensões de um retângulo com área de cujo perímetro seja o menor possível.