Determine uma função
tal que
.
Resolução
é harmônica.
Agora, suponha que existe
tal que
seja holomorfa em todo
. Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
Portanto,
-
Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja,
, conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎
Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja, , conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma função
tal que a parte real dela seja
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de funções holomorfas e as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, vamos verificar se a função real fornecida é harmônica, pois isso é essencial para garantir a existência da parte imaginária que torna
holomorfa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte real da função como
. Precisamos verificar se
é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, ou seja:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a função
é harmônica. Isso é importante porque, para existir uma função imaginária
tal que
seja holomorfa,
precisa ser harmônica.
Passo 3
Agora, vamos usar as condições de Cauchy-Riemann para encontrar a parte imaginária
. As condições de Cauchy-Riemann são:
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Substituindo nas condições de Cauchy-Riemann:
Passo 4
Para encontrar
, vamos integrar as derivadas parciais obtidas:
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
. Agora, usamos a segunda condição
:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos escolher
para simplificar, sem perder a generalidade da solução.
Portanto:
Resposta
A função que satisfaz
é:
Exercícios relacionados
Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.
Demonstra-se que
é holomorfa em
se, e somente se,
é diferenciável em
e, nesse caso,
em
ou seja,
em
, por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que
seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de
deve nulo em (2.30), isto é,
deve ser proporcional a
, onde
é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais e
devem satisfazer para que a função
Como exercício, determine que condições as constantes reais
seja holomorfa.
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral iterada.