Determine uma função tal que .

Resolução

é harmônica. Agora, suponha que existe tal que seja holomorfa em todo . Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
Portanto,
[1]

  1. Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
    Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja, , conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma função tal que a parte real dela seja . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de funções holomorfas e as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, vamos verificar se a função real fornecida é harmônica, pois isso é essencial para garantir a existência da parte imaginária que torna holomorfa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte real da função como . Precisamos verificar se é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, ou seja:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a função é harmônica. Isso é importante porque, para existir uma função imaginária tal que seja holomorfa, precisa ser harmônica.

Passo 3

Agora, vamos usar as condições de Cauchy-Riemann para encontrar a parte imaginária . As condições de Cauchy-Riemann são:
Vamos calcular as derivadas parciais de :
Substituindo nas condições de Cauchy-Riemann:

Passo 4

Para encontrar , vamos integrar as derivadas parciais obtidas:
Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de . Agora, usamos a segunda condição :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos escolher para simplificar, sem perder a generalidade da solução.
Portanto:

Resposta

A função que satisfaz é:

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Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.
Demonstra-se que é holomorfa em se, e somente se, é diferenciável em e, nesse caso,
em ou seja,
em , por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de deve nulo em (2.30), isto é, deve ser proporcional a , onde é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais e devem satisfazer para que a função
seja holomorfa.
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral iterada.