Determine uma função f(z) tal que Re(f(z))=x^2+2 x-y^2+1.

Resolução

P(x, y)=x^2+2 x-y^2+1 é harmônica. ^63 Agora, suponha que existe Q(x, y) tal que f=P+i Q seja holomorfa em todo C. Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
partial Qpartial x=-partial Ppartial y=2 y
Portanto,
Q(x, y)=2 x y+h(y)
[1]

  1. ^62 Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
    ^63 Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja, De, conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma função tal que a parte real dela seja . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de funções holomorfas e as condições de Cauchy-Riemann. Além disso, vamos verificar se a função real fornecida é harmônica, pois isso é essencial para garantir a existência da parte imaginária que torna holomorfa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte real da função como De. Precisamos verificar se partial^2 Ppartial x^2 = partialpartial x(2x + 2) = 2 é uma função harmônica. Uma função é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace, ou seja:
partial^2 Ppartial y^2 = partialpartial y(-2y) = -2
Calculando as derivadas parciais:
De
Como , a função é harmônica. Isso é importante porque, para existir uma função imaginária tal que seja holomorfa, precisa ser harmônica.

Passo 3

Agora, vamos usar as condições de Cauchy-Riemann para encontrar a parte imaginária partial Ppartial x = partial Qpartial y . As condições de Cauchy-Riemann são:
partial Ppartial y = -partial Qpartial x
partial Ppartial x = 2x + 2
Vamos calcular as derivadas parciais de partial Ppartial y = -2y :
partial Qpartial y = 2x + 2
partial Qpartial x = 2y
Substituindo nas condições de Cauchy-Riemann:

Passo 4

Para encontrar Q(x, y) = (2x + 2)y + h(x) , vamos integrar as derivadas parciais obtidas:
Primeiro, integramos partial Qpartial x = 2y + h'(x) = 2y em relação a Q(x, y) = (2x + 2)y :
Aqui, é uma função arbitrária de . Agora, usamos a segunda condição :
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos escolher para simplificar, sem perder a generalidade da solução.
Portanto:

Resposta

A função que satisfaz f(z) = (x^2 + 2x - y^2 + 1) + i(2x + 2)y é:

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