Calcule a integral iterada
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral iterada, que é basicamente uma integral dentro de outra integral. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte interna da integral:
Observe que
não depende de
, então ela pode ser tratada como uma constante durante essa integração.
Passo 3
Integrando
em relação a
, temos:
A integral de
de 0 a
é simplesmente
.
Passo 4
Portanto, a integral interna resulta em:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma troca de variável. Vamos deixar
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Substituindo na integral:
Quando
,
. Quando
,
. Então, os limites da integral ficam de 1 a 0. Podemos inverter os limites mudando o sinal:
Passo 7
Agora, vamos integrar
:
Passo 8
Calculando os limites:
Multiplicando pelo fator que tínhamos fora:
Resposta
O valor da integral iterada é
.