Calcule a integral iterada
integral0^1 integral0^y raiz1-y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular uma integral iterada, que é basicamente uma integral dentro de outra integral. O enunciado é:
integral0^1 integral0^y raiz1-y^2 , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral:
integral0^y raiz1 - y^2 , dx
Observe que não depende de , então ela pode ser tratada como uma constante durante essa integração.

Passo 3

Integrando integral0^y raiz1 - y^2 , dx = raiz1 - y^2 cdot integral0^y dx em relação a , temos:
A integral de de 0 a é simplesmente .

Passo 4

Portanto, a integral interna resulta em:
raiz1 - y^2 cdot y = y raiz1 - y^2
Agora, substituímos isso na integral externa:
integral0^1 y raiz1 - y^2 , dy

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma troca de variável. Vamos deixar du = -2y , dy Rightarrow y , dy = -12 du . Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 6

Substituindo na integral:
integral0^1 y raiz1 - y^2 , dy = -12 integralu(0)^u(1) raizu , du
Quando -12 integral1^0 raizu , du = 12 integral0^1 raizu , du , . Quando , . Então, os limites da integral ficam de 1 a 0. Podemos inverter os limites mudando o sinal:

Passo 7

Agora, vamos integrar integral0^1 u^1/2 , du = [ u^3/232 ]0^1 = 23 [ u^3/2 ]0^1 :

Passo 8

Calculando os limites:
23 (1^3/2 - 0^3/2) = 23 (1 - 0) = 23
Multiplicando pelo fator que tínhamos fora:
12 cdot 23 = 13

Resposta

O valor da integral iterada é .

Exercícios relacionados