Encontre as funções
e
e seus domínios.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as funções compostas
,
,
e
, além dos domínios dessas funções. Temos as funções:
Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e determinar os domínios de cada composição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é função composta. A composição de duas funções
significa que a gente aplica a função
primeiro e depois aplica a função
no resultado. Em notação:
Vamos começar encontrando
.
Passo 3
Calculando
:
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio de
é onde
está bem definida e mais o resultado de
deve estar no domínio de
.
Passo 4
Analisando o domínio de
:
A raiz quadrada está definida para .
A raiz quadrada está definida para
Como
está definida para todos os reais, o domínio de
será o mesmo que o domínio de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Aqui, precisamos que
para a raiz quadrada estar definida, além do domínio de
.
Passo 6
Sabemos que
quando:
Então, o domínio de
são todos os
onde
:
Passo 7
Vamos agora calcular
:
Como
está sempre entre -1 e 1, e
está bem definida para todo
real, o domínio é todo real.
Passo 8
Por último, vamos calcular
:
Para que essa função esteja bem definida:
-
deve estar definida, ou seja, . -
para que esteja definida.
Então:
Portanto, o domínio de
é:
Resposta
As funções compostas e seus domínios são: