Encontre as funções f o g, g o f, f o f e g(g) e seus domínios. f(x) = sen(x), g(x) = 1 - raiz(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as funções compostas , , e , além dos domínios dessas funções. Temos as funções:
Para resolver isso, vamos precisar entender como compor funções e determinar os domínios de cada composição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é função composta. A composição de duas funções significa que a gente aplica a função primeiro e depois aplica a função no resultado. Em notação:
Vamos começar encontrando .

Passo 3

Calculando :
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio de é onde está bem definida e mais o resultado de deve estar no domínio de .

Passo 4

Analisando o domínio de :
A raiz quadrada está definida para .
Como está definida para todos os reais, o domínio de será o mesmo que o domínio de :

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Aqui, precisamos que para a raiz quadrada estar definida, além do domínio de .

Passo 6

Sabemos que quando:
Então, o domínio de são todos os onde :

Passo 7

Vamos agora calcular :
Como está sempre entre -1 e 1, e está bem definida para todo real, o domínio é todo real.

Passo 8

Por último, vamos calcular :
Para que essa função esteja bem definida:
  1. deve estar definida, ou seja, .
  2. para que esteja definida.
Então:
Portanto, o domínio de é:

Resposta

As funções compostas e seus domínios são:

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