Escolha uma função f(x, y) não constante e diferente das funções dadas nas outras questões tal que f seja contínua em
D = {(x, y) ∈ R² : -1 <= x <= 1 e -1 <= y <= 1}
Após isso encontre o valor máximo e o valor mínimo dessa f em D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa escolher uma função que não seja constante e que seja diferente das outras que já vimos, mas que ainda seja contínua no conjunto . Depois disso, vamos encontrar o valor máximo e mínimo dessa função dentro desse conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, como encontrar máximos e mínimos usando derivadas parciais e aplicar o Teorema de Weierstrass, que garante que funções contínuas em conjuntos fechados e limitados atingem seus valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma função simples que atenda aos requisitos. Vamos escolher:
Essa função não é constante porque seus valores mudam conforme e mudam. Além disso, ela é diferente de funções mais básicas como ou , que geralmente aparecem em exercícios introdutórios.

Passo 3

Agora, precisamos confirmar que nossa função é contínua no conjunto . Sabemos que polinômios são funções contínuas em todo , então é contínua em .

Passo 4

Segundo o Teorema de Weierstrass, toda função contínua em um conjunto fechado e limitado (como o nosso ) atinge seus valores máximos e mínimos nesse conjunto. Então, nossa tarefa é encontrar esses valores extremos.

Passo 5

Para encontrar os máximos e mínimos, vamos verificar os pontos críticos dentro de e também os pontos na fronteira de .
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de :
Igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 6

Agora, avaliamos a função no ponto crítico e nos pontos da fronteira.
No ponto crítico :
Na fronteira de , temos e . Vamos avaliar nesses pontos:
Perceba que em todos esses casos, o valor mínimo é 1 (quando ou ) e o valor máximo é 2 (quando ou ).

Passo 7

Comparando os valores, vemos que o menor valor de em é 0 no ponto e o maior valor é 2 nos pontos onde ou são iguais a .

Resposta

O valor mínimo da função em é 0 no ponto e o valor máximo é 2 nos pontos onde ou são iguais a .

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