Escolha uma função
não constante e diferente das funções dadas nas outras questões tal que
seja contínua em
Após isso encontre o valor máximo e o valor mínimo dessa
em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa escolher uma função
que não seja constante e que seja diferente das outras que já vimos, mas que ainda seja contínua no conjunto
. Depois disso, vamos encontrar o valor máximo e mínimo dessa função dentro desse conjunto. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções contínuas, como encontrar máximos e mínimos usando derivadas parciais e aplicar o Teorema de Weierstrass, que garante que funções contínuas em conjuntos fechados e limitados atingem seus valores máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma função simples que atenda aos requisitos. Vamos escolher:
Essa função não é constante porque seus valores mudam conforme
e
mudam. Além disso, ela é diferente de funções mais básicas como
ou
, que geralmente aparecem em exercícios introdutórios.
Passo 3
Agora, precisamos confirmar que nossa função
é contínua no conjunto
. Sabemos que polinômios são funções contínuas em todo
, então
é contínua em
.
Passo 4
Segundo o Teorema de Weierstrass, toda função contínua em um conjunto fechado e limitado (como o nosso
) atinge seus valores máximos e mínimos nesse conjunto. Então, nossa tarefa é encontrar esses valores extremos.
Passo 5
Para encontrar os máximos e mínimos, vamos verificar os pontos críticos dentro de
e também os pontos na fronteira de
.
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de
:
Igualamos a zero para encontrar pontos críticos:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 6
Agora, avaliamos a função no ponto crítico e nos pontos da fronteira.
No ponto crítico
:
Na fronteira de
, temos
e
. Vamos avaliar
nesses pontos:
Perceba que em todos esses casos, o valor mínimo é 1 (quando
ou
) e o valor máximo é 2 (quando
ou
).
Passo 7
Comparando os valores, vemos que o menor valor de
em
é 0 no ponto
e o maior valor é 2 nos pontos onde
ou
são iguais a
.
Resposta
O valor mínimo da função
em
é 0 no ponto
e o valor máximo é 2 nos pontos onde
ou
são iguais a
.