Encontre a tangente à ciclóide
no ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da tangente à ciclóide dada pelas equações paramétricas
e
no ponto onde
. Vamos usar cálculo diferencial para isso, especificamente derivadas de funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na ciclóide quando
. Isso significa que precisamos calcular
e
substituindo
naquelas equações.
Passo 3
Calculando
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Calculando
:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a inclinação da tangente, ou seja,
, no ponto
. Para isso, calculamos as derivadas
e
primeiro.
Passo 6
Calculando
:
Substituindo
:
Passo 7
Calculando
:
Substituindo
:
Passo 8
Agora, a inclinação da tangente é
:
Passo 9
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a equação da reta:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da tangente à ciclóide no ponto
é: