Encontre a tangente à ciclóide x = r(t - sen(t)), y = r(1 - cos(t)) no ponto onde t = pi / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da tangente à ciclóide dada pelas equações paramétricas e no ponto onde . Vamos usar cálculo diferencial para isso, especificamente derivadas de funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na ciclóide quando . Isso significa que precisamos calcular e substituindo naquelas equações.

Passo 3

Calculando :
Sabemos que , então:

Passo 4

Calculando :
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a inclinação da tangente, ou seja, , no ponto . Para isso, calculamos as derivadas e primeiro.

Passo 6

Calculando :
Substituindo :

Passo 7

Calculando :
Substituindo :

Passo 8

Agora, a inclinação da tangente é :

Passo 9

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da tangente à ciclóide no ponto é:

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