Calcule a integral iterada: integral0^1 integral0^z integral0^x+z(6 x z) d y d x d z

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma integral iterada dada pela expressão integral0^1 integral0^z integral0^x+z(6 x z) d y d x d z. O assunto aqui é integração dupla ou múltipla, que é um tema que envolve calcular áreas (ou volumes) sob superfícies, em várias dimensões. Para resolver a integral, vamos integrar passo a passo, começando de dentro para fora. Precisaremos do conhecimento sobre as integrais e, especificamente, da ordem em que devemos integrar.

Passo 2

Vamos começar pela integral mais interna, que é a de y. A integral que precisamos resolver agora é:
integral0^x+z (6 x z) dy
Como a expressão 6 x z não depende de y, podemos tratá-la como uma constante ao integrar. Para integrar em relação a y, usamos a fórmula básica de integração integral k , dy = k y, onde k é uma constante.
Portanto, a integral se torna:
6 x z cdot y |0^x+z = 6 x z (x + z) - 6 x z (0) = 6 x z (x + z)
Agora, temos:
= 6 x z (x + z)

Passo 3

Agora, vamos para a próxima integral que é em relação a x. Precisamos calcular:
integral0^z 6 x z (x + z) dx
Expandindo a expressão 6 x z (x + z), temos:
6 x z^2 + 6 x^2 z
Agora, integramos termo a termo. Primeiro, a integral de 6 x z^2:
integral 6 x z^2 , dx = 6 z^2 cdot x^22 = 3 z^2 x^2
E agora, para a integral de 6 x^2 z:
integral 6 x^2 z , dx = 6 z cdot x^33 = 2 z x^3
Então, juntando os resultados, temos:
integral0^z (6 x z^2 + 6 x^2 z) , dx = [ 3 z^2 x^2 + 2 z x^3 ]0^z
Substituindo os limites de integração 0 e z:
= [ 3 z^2 (z^2) + 2 z (z^3) ] - [ 0 ] = 3 z^4 + 2 z^4 = 5 z^4

Passo 4

Agora que temos a integral em relação a x, vamos colocar isso na última integral, que é em relação a z. Precisamos calcular:
integral0^1 5 z^4 , dz
Aplicando a fórmula básica da integral, temos:
5 integral z^4 , dz = 5 cdot z^55 = z^5
Agora substituindo os limites de 0 a 1:
= [z^5]0^1 = 1^5 - 0^5 = 1 - 0 = 1

Resposta

Portanto, o resultado da integral iterada integral0^1 integral0^z integral0^x+z(6 x z) d y d x d z é 1.

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