Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma integral iterada dada pela expressão . O assunto aqui é integração dupla ou múltipla, que é um tema que envolve calcular áreas (ou volumes) sob superfícies, em várias dimensões. Para resolver a integral, vamos integrar passo a passo, começando de dentro para fora. Precisaremos do conhecimento sobre as integrais e, especificamente, da ordem em que devemos integrar.
Passo 2
Vamos começar pela integral mais interna, que é a de . A integral que precisamos resolver agora é:
Como a expressão não depende de , podemos tratá-la como uma constante ao integrar. Para integrar em relação a , usamos a fórmula básica de integração , onde é uma constante.
Portanto, a integral se torna:
Agora, temos:
= 6 x z (x + z)
Passo 3
Agora, vamos para a próxima integral que é em relação a x. Precisamos calcular:
integral0^z 6 x z (x + z) dx
Expandindo a expressão 6 x z (x + z), temos:
6 x z^2 + 6 x^2 z
Agora, integramos termo a termo. Primeiro, a integral de 6 x z^2:
integral 6 x z^2 , dx = 6 z^2 cdot x^22 = 3 z^2 x^2
E agora, para a integral de 6 x^2 z:
integral 6 x^2 z , dx = 6 z cdot x^33 = 2 z x^3
Então, juntando os resultados, temos:
integral0^z (6 x z^2 + 6 x^2 z) , dx = [ 3 z^2 x^2 + 2 z x^3 ]0^z