Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, temos uma integral tripla aqui:
. Isso significa que vamos calcular a área sob a função
dentro dos limites especificados para
,
e
. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando com
, depois
e por último
.
Passo 2
Vamos começar integrando em relação a
. A função que vamos integrar é
em relação a
, e os limites de
vão de 0 até
:
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirá-lo da integral:
A integral de
não tem uma antiderivada em termos de funções elementares, mas sabemos que ela está relacionada à função erro,
. Porém, para propósitos de integração iterada, podemos deixar a integral assim por enquanto.
Passo 3
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
. A expressão que temos é:
Integramos isso de
até
:
Aqui,
ainda é uma constante em relação a
, então podemos puxar o
para fora da integral:
Essa integral ainda é complexa, então vamos seguir para o próximo passo.
Passo 4
Por fim, vamos integrar em relação a
. A expressão que temos é:
Para resolver essa integral, podemos trocar a ordem de integração ou utilizar técnicas de integração avançadas, mas isso está além do escopo básico. Portanto, reconhecemos que a solução envolve funções especiais e deixa nossa resposta em termos das integrais conhecidas.
Resposta
A integral iterada
não pode ser expressa em termos de funções elementares e é relacionada à função erro. Portanto, a resposta final permanece em forma de integral ou é expressa usando funções especiais como
.
Exercícios relacionados
Na Regra do Ponto Médio para as Integrais Triplas, usamos a soma tripla de Riemann para aproximar a integral tripla em uma caixa
, onde
é calculada no centro
.
da caixa
. Utilize a Regra do Ponto Médio para estimar
, onde
ê o cubo definido por 0
. Divida
em oito cubos de igual tamanho.
Calcule a integral tripla.
, onde
SCA
SCA
Utilize a Tabela de Integrais (nas Páginas de Referência 6-10) ou um sistema de computaçaio algébrica para determinar o valor exato da integral tripla da parte (a).
Calcule a integral
, onde
utilizando três ordens diferentes de integração.