Calcule a integral iterada. integral0^1 integral0^z integral0^y z e^-x^2 d x d y d z

Passo 1

Beleza, temos uma integral tripla aqui: . Isso significa que vamos calcular a área sob a função dentro dos limites especificados para , e . Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando com , depois e por último .

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a integral0^y z e^-x^2 , dx . A função que vamos integrar é z integral0^y e^-x^2 , dx em relação a , e os limites de vão de 0 até :
Como é uma constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:
A integral de não tem uma antiderivada em termos de funções elementares, mas sabemos que ela está relacionada à função erro, . Porém, para propósitos de integração iterada, podemos deixar a integral assim por enquanto.

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a z integral0^y e^-x^2 , dx . A expressão que temos é:
integral0^z ( z integral0^y e^-x^2 , dx ) dy
Integramos isso de z integral0^z ( integral0^y e^-x^2 , dx ) dy até :
Aqui, ainda é uma constante em relação a , então podemos puxar o para fora da integral:
Essa integral ainda é complexa, então vamos seguir para o próximo passo.

Passo 4

Por fim, vamos integrar em relação a z integral0^z ( integral0^y e^-x^2 , dx ) dy . A expressão que temos é:
Para resolver essa integral, podemos trocar a ordem de integração ou utilizar técnicas de integração avançadas, mas isso está além do escopo básico. Portanto, reconhecemos que a solução envolve funções especiais e deixa nossa resposta em termos das integrais conhecidas.

Resposta

A integral iterada não pode ser expressa em termos de funções elementares e é relacionada à função erro. Portanto, a resposta final permanece em forma de integral ou é expressa usando funções especiais como .

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