Calcule a integral
, onde
utilizando três ordens diferentes de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que o exercício pediu. A gente precisa calcular
, onde
é o conjunto de pontos
com
entre
e
,
entre
e
, e
entre
e
. A matéria aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e aplicar as regras básicas de integração múltipla.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma ordem de integração. Vou começar integrando em
, depois em
, e por último em
. Isso significa que vamos primeiro integrar em relação a
, mantendo
e
constantes.
A integral fica assim:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Aqui, tratamos
e
como constantes. A integral de
em relação a
é:
Já a integral de
em relação a
é:
Então, a integral interna resulta em
.
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral do meio, que é em relação a
:
Passo 5
Por último, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral tripla
é
.
Exercícios relacionados
Utilize a Tabela de Integrais (nas Páginas de Referência 6-10) ou um sistema de computaçaio algébrica para determinar o valor exato da integral tripla da parte (a).
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral iterada.
Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superficies dadas.