Calcule a integral integral triplaE(x z-y^3) d V, onde
E=(x, y, z) mid-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1
utilizando três ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla que o exercício pediu. A gente precisa calcular , onde é o conjunto de pontos com entre e , entre e , e entre e . A matéria aqui é cálculo multivariável, especificamente integrais triplas. Para resolver, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e aplicar as regras básicas de integração múltipla.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma ordem de integração. Vou começar integrando em integral0^1 integral0^2 integral-1^1 (x z - y^3) , dx , dy , dz , depois em , e por último em . Isso significa que vamos primeiro integrar em relação a , mantendo e constantes.
A integral fica assim:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral-1^1 (x z - y^3) , dx :
integral-1^1 x z , dx = z [ x^22 ]-1^1 = z ( 12 - 12 ) = 0
Aqui, tratamos integral-1^1 -y^3 , dx = -y^3 [ x ]-1^1 = -y^3 (1 - (-1)) = -2 y^3 e como constantes. A integral de em relação a é:
Já a integral de em relação a é:
Então, a integral interna resulta em .

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral do meio, que é em relação a integral0^2 (-2 y^3) , dy = -2 integral0^2 y^3 , dy = -2 [ y^44 ]0^2 = -2 ( 164 - 0 ) = -2 times 4 = -8 :

Passo 5

Por último, integramos em relação a integral0^1 (-8) , dz = -8 [ z ]0^1 = -8 (1 - 0) = -8 :

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Utilize a Tabela de Integrais (nas Páginas de Referência 6-10) ou um sistema de computaçaio algébrica para determinar o valor exato da integral tripla da parte (a).
Calcule a integral iterada. integral0^1 integral0^z integral0^y z e^-x^2 d x d y d z
Calcule a integral iterada. integral0^raizpi integral0^x integral0^x pi x^2 sen y d y d z d x
Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superficies dadas. y=x^2+z=0, y+2 z=4