Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos demonstrar que as derivadas parciais mistas com respeito a e são iguais e que elas podem ser expressas como um quarto do operador laplaciano . Para isso, vamos precisar entender como as variáveis complexas e se relacionam com as variáveis reais e , além de usar regras de derivação de funções multivariáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e são definidos em termos de e da seguinte forma:
Aqui, é a unidade imaginária. Essas expressões nos permitem relacionar as derivadas em termos de e com as derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de uma função em termos de e . Usando as definições de e , podemos escrever:
Essas fórmulas nos dizem como expressar as derivadas em termos de e usando as derivadas em e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a composição das derivadas parciais . Substituindo as expressões que encontramos no passo anterior:
Multiplicando os termos, temos:
Como e as derivadas mistas são iguais ( ), os termos com se cancelam:

Passo 5

Observe que o operador laplaciano em duas dimensões é definido como:
Comparando com o que obtivemos no passo anterior, vemos que:
De forma semelhante, ao calcular , obtemos o mesmo resultado devido à comutatividade das derivadas parciais.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
onde é o operador laplaciano definido por:

Exercícios relacionados

Demonstra-se que é holomorfa em se, e somente se, é diferenciável em e, nesse caso,
em ou seja,
em , por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de deve nulo em (2.30), isto é, deve ser proporcional a , onde é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais e devem satisfazer para que a função
seja holomorfa.
Resolva as integrais:
Determine uma função tal que .

Resolução

é harmônica. Agora, suponha que existe tal que seja holomorfa em todo . Assim, pelas condições de Cauchy-Riemann,
Portanto,

  1. Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
    Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja, , conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎
Calcule a integral iterada.