Demonstre que
partialpartial z partialpartial barz & =partialpartial barz partialpartial z & =14(partial^2partial x^2+partial^2partial y^2) & =14 De
onde
De
é o operador laplaciano.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos demonstrar que as derivadas parciais mistas com respeito a e são iguais e que elas podem ser expressas como um quarto do operador laplaciano . Para isso, vamos precisar entender como as variáveis complexas e se relacionam com as variáveis reais e , além de usar regras de derivação de funções multivariáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que z = x + iy e barz = x - iy são definidos em termos de e da seguinte forma:
Aqui, é a unidade imaginária. Essas expressões nos permitem relacionar as derivadas em termos de e com as derivadas parciais em relação a e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de uma função partialpartial z = 12( partialpartial x - ipartialpartial y ) em termos de partialpartial barz = 12( partialpartial x + ipartialpartial y ) e . Usando as definições de e , podemos escrever:
Essas fórmulas nos dizem como expressar as derivadas em termos de e usando as derivadas em e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a composição das derivadas parciais partialpartial z partialpartial barz = 12( partialpartial x - ipartialpartial y ) cdot 12( partialpartial x + ipartialpartial y ) . Substituindo as expressões que encontramos no passo anterior:
= 14 ( partial^2partial x^2 + ipartial^2partial x partial y - ipartial^2partial y partial x + i^2 partial^2partial y^2 )
Multiplicando os termos, temos:
= 14 ( partial^2partial x^2 - partial^2partial y^2 )
Como e as derivadas mistas são iguais ( ), os termos com se cancelam:

Passo 5

Observe que o operador laplaciano De em duas dimensões é definido como:
partialpartial z partialpartial barz = 14 De
Comparando com o que obtivemos no passo anterior, vemos que:
De forma semelhante, ao calcular , obtemos o mesmo resultado devido à comutatividade das derivadas parciais.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
partialpartial z partialpartial barz = partialpartial barz partialpartial z = 14 De
onde De é o operador laplaciano definido por:

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