Demonstre que
onde
é o operador laplaciano.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Precisamos demonstrar que as derivadas parciais mistas com respeito a
e
são iguais e que elas podem ser expressas como um quarto do operador laplaciano
. Para isso, vamos precisar entender como as variáveis complexas
e
se relacionam com as variáveis reais
e
, além de usar regras de derivação de funções multivariáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
e
são definidos em termos de
e
da seguinte forma:
Aqui,
é a unidade imaginária. Essas expressões nos permitem relacionar as derivadas em termos de
e
com as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de uma função
em termos de
e
. Usando as definições de
e
, podemos escrever:
Essas fórmulas nos dizem como expressar as derivadas em termos de
e
usando as derivadas em
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a composição das derivadas parciais
. Substituindo as expressões que encontramos no passo anterior:
Multiplicando os termos, temos:
Como
e as derivadas mistas são iguais (
), os termos com
se cancelam:
Passo 5
Observe que o operador laplaciano
em duas dimensões é definido como:
Comparando com o que obtivemos no passo anterior, vemos que:
De forma semelhante, ao calcular
, obtemos o mesmo resultado devido à comutatividade das derivadas parciais.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
onde
é o operador laplaciano definido por:
Exercícios relacionados
Demonstra-se que
é holomorfa em
se, e somente se,
é diferenciável em
e, nesse caso,
em
ou seja,
em
, por (2.29). Portanto, uma condição necessária e suficiente para que
seja holomorfa é a seguinte: o coeficiente de
deve nulo em (2.30), isto é,
deve ser proporcional a
, onde
é o coeficiente de proporcionalidade.
Como exercício, determine que condições as constantes reais e
devem satisfazer para que a função
Como exercício, determine que condições as constantes reais
seja holomorfa.
Resolva as integrais:
Determine uma função
tal que
.
Resolução
Portanto,
Essa condição é equivalente às condições de Cauchy-Riemann, isto é, (2.2) da página 8.
Uma função é harmônica quando o seu operador laplaciano é nulo, ou seja, , conforme definido em (2.31). Demonstra-se que, se uma função é holomorfa, então ela é harmônica, pelas condições de CauchyRiemann supracitadas. ↩︎
Calcule a integral iterada.