Calcule a integral iterada
(Dica:
).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais iteradas. Para resolver isso, vamos integrar uma função sobre três variáveis, seguindo os limites de integração fornecidos. Vamos precisar usar técnicas de integração passo a passo e aplicar algumas propriedades dos exponenciais.
Passo 2
Vamos começar pela parte mais interna da integral, que é em relação a
. A função que vamos integrar é
.
Como
é uma constante em relação a
, podemos tirá-lo da integral:
Passo 3
Agora, vamos integrar
em relação a
. A antiderivada de
é
:
Sabemos que
e, pela dica do enunciado,
. Substituindo esses valores:
Passo 4
Agora, vamos substituir o resultado obtido na integral em relação a
na próxima integral, que é em relação a
:
Vamos integrar
em relação a
.
Passo 5
A antiderivada de
é
e a antiderivada de
é
. Assim:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na última integral, que é em relação a
:
Vamos integrar
em relação a
.
Passo 7
A antiderivada de
é
e a antiderivada de
é
. Assim:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
Determine o fluxo do campo vetorial
através de
, sendo
a porção da superfície
acima do plano
, e suponha que
seja orientada para cima.
Calcule a integral de linha
onde
é a parte do cone
que fica entre os planos
e
.
Utilizando a definição de derivada:
calcule a expressão de
dos casos a seguir:
©
©
Calcule a integral tripla
onde
é a região cilíndrica
.
i Escreva a integral na ordem e encontre o resultado da integral com relação a
.
ii Use coordenadas polares para calcular a integral sobre . (Dica: lembre que a derivada do cosseno é menos seno).
i Escreva a integral na ordem
ii Use coordenadas polares para calcular a integral sobre