Calcule a integral iterada
integral1^2 integral0^2 z integral0^ln (x) x e^-y d y d x d z
(Dica: e^-ln (x)=e^ln (x^-1)=1x ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integral1^2 integral0^2 z integral0^ln (x) x e^-y , dy , dx , dz
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais iteradas. Para resolver isso, vamos integrar uma função sobre três variáveis, seguindo os limites de integração fornecidos. Vamos precisar usar técnicas de integração passo a passo e aplicar algumas propriedades dos exponenciais.

Passo 2

Vamos começar pela parte mais interna da integral, que é em relação a integral0^ln (x) x e^-y , dy . A função que vamos integrar é x integral0^ln (x) e^-y , dy .
Como é uma constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar x [ -e^-y ]0^ln (x) = x ( -e^-ln(x) + e^0 ) em relação a x ( -1x + 1 ) = x (1 - 1x) = x - 1 . A antiderivada de é :
Sabemos que e, pela dica do enunciado, . Substituindo esses valores:

Passo 4

Agora, vamos substituir o resultado obtido na integral em relação a integral0^2 z (x - 1) , dx na próxima integral, que é em relação a :
Vamos integrar em relação a .

Passo 5

A antiderivada de [ x^22 - x ]0^2 z = ( (2 z)^22 - 2 z ) - ( 0 - 0 ) = 4 z^22 - 2 z = 2 z^2 - 2 z é e a antiderivada de é . Assim:

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na última integral, que é em relação a integral1^2 (2 z^2 - 2 z) , dz :
Vamos integrar em relação a .

Passo 7

A antiderivada de [ 2 z^33 - z^2 ]1^2 = ( 2 cdot 83 - 4 ) - ( 2 cdot 13 - 1 ) = ( 163 - 4 ) - ( 23 - 1 ) é 163 - 123 - ( 23 - 33 ) = 43 - ( -13 ) = 43 + 13 = 53 e a antiderivada de é . Assim:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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