Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = x i + y j + z k através de S, sendo S a porção da superfície z = 1 - x^2 - y^2 acima do plano x y, e suponha que S seja orientada para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície S, que é a parte da superfície acima do plano xy. A superfície S está orientada para cima. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “campo” que passa por essa superfície. Matematicamente, o fluxo é dado por:
Onde F é o campo vetorial, n é o vetor normal à superfície S, e é o elemento de área na superfície.

Passo 3

Para calcular isso, precisamos encontrar o vetor normal n. Como a superfície S está dada por , podemos reescrever isso como . O vetor normal não normalizado é dado pelo gradiente de f:

Passo 4

Como queremos o vetor normal orientado para cima, já que a superfície está voltada para cima, mantemos a orientação positiva do componente z. Portanto, o vetor normal unitário n é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Sabendo que na superfície S, substituímos z na expressão acima:

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão sobre a superfície S. É conveniente mudar para coordenadas polares, já que a superfície é simétrica em torno do eixo z. No plano xy, usamos e . Então, , e o elemento de área em coordenadas polares é:

Passo 8

Substituindo tudo na integral, temos:

Passo 9

Simplificando a integral:

Passo 10

Integrando em relação a theta:

Resposta

O fluxo do campo vetorial F através da superfície S é .

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