Determine o fluxo do campo vetorial através de , sendo a porção da superfície acima do plano , e suponha que seja orientada para cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a parte da superfície acima do plano . A superfície está orientada para cima. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “campo” que passa por essa superfície. Matematicamente, o fluxo é dado por:
Onde é o campo vetorial, é o vetor normal à superfície , e é o elemento de área na superfície.

Passo 3

Para calcular isso, precisamos encontrar o vetor normal . Como a superfície está dada por , podemos reescrever isso como . O vetor normal não normalizado é dado pelo gradiente de :

Passo 4

Como queremos o vetor normal orientado para cima, já que a superfície está voltada para cima, mantemos a orientação positiva do componente . Portanto, o vetor normal unitário é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Sabendo que na superfície , substituímos na expressão acima:

Passo 7

Agora, precisamos integrar essa expressão sobre a superfície . É conveniente mudar para coordenadas polares, já que a superfície é simétrica em torno do eixo . No plano , usamos e . Então, , e o elemento de área em coordenadas polares é:

Passo 8

Substituindo tudo na integral, temos:

Passo 9

Simplificando a integral:

Passo 10

Integrando em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha
onde é a parte do cone que fica entre os planos e .
Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície da região envolvida pelo cilindro circular e os planos e .
Calcule a integral iterada
(Dica: ).
Utilizando a definição de derivada:
calcule a expressão de dos casos a seguir:
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