Determine o fluxo do campo vetorial
através de
, sendo
a porção da superfície
acima do plano
, e suponha que
seja orientada para cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a parte da superfície
acima do plano
. A superfície
está orientada para cima. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente o cálculo de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “campo” que passa por essa superfície. Matematicamente, o fluxo é dado por:
Onde
é o campo vetorial,
é o vetor normal à superfície
, e
é o elemento de área na superfície.
Passo 3
Para calcular isso, precisamos encontrar o vetor normal
. Como a superfície
está dada por
, podemos reescrever isso como
. O vetor normal não normalizado é dado pelo gradiente de
:
Passo 4
Como queremos o vetor normal orientado para cima, já que a superfície está voltada para cima, mantemos a orientação positiva do componente
. Portanto, o vetor normal unitário
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Sabendo que
na superfície
, substituímos
na expressão acima:
Passo 7
Agora, precisamos integrar essa expressão sobre a superfície
. É conveniente mudar para coordenadas polares, já que a superfície é simétrica em torno do eixo
. No plano
, usamos
e
. Então,
, e o elemento de área
em coordenadas polares é:
Passo 8
Substituindo tudo na integral, temos:
Passo 9
Simplificando a integral:
Passo 10
Integrando em relação a
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha
onde
é a parte do cone
que fica entre os planos
e
.
Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície da região envolvida pelo cilindro circular
e os planos
e
.
Calcule a integral iterada
(Dica:
).
Utilizando a definição de derivada:
calcule a expressão de
dos casos a seguir:
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