Utilizando a definição de derivada:
lim h 0 f(x+h)-f(x)h
calcule a expressão de f^prime(x) dos casos a seguir:
© f(x)=1x+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de f^prime(x) = lim h 0 f(x+h)-f(x)h usando a definição de derivada. A matéria aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de derivada utilizando limites. Para resolver, vamos usar a fórmula da definição de derivada:

Passo 2

Primeiro, vamos substituir f(x+h) = 1(x+h)+1 = 1x + h + 1 e f(x+h)-f(x)h = 1x + h + 1 - 1x + 1h na fórmula. Como , temos:
Então, a expressão dentro do limite fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão no numerador. Para subtrair essas duas frações, precisamos de um denominador comum:
1x + h + 1 - 1x + 1 = (x + 1) - (x + h + 1)(x + h + 1)(x + 1)
Simplificando o numerador:
(x + 1) - (x + h + 1) = x + 1 - x - h - 1 = -h
Então, a expressão fica:
-h(x + h + 1)(x + 1)

Passo 4

Voltando à expressão original dentro do limite:
-h(x + h + 1)(x + 1)h = -hh (x + h + 1)(x + 1) = -1(x + h + 1)(x + 1)

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando f^prime(x) = lim h 0 -1(x + h + 1)(x + 1) = -1(x + 0 + 1)(x + 1) = -1(x + 1)^2 tende a 0:

Resposta

A derivada de f^prime(x) = -1(x + 1)^2 é:

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