Calcule a integral de linha
onde
é a parte do cone
que fica entre os planos
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície:
Aqui,
é a porção do cone
que está entre os planos
e
. Vamos usar o conceito de integração de superfície para resolver isso. Basicamente, vamos somar tudo que está sobre essa superfície usando coordenadas apropriadas. Para isso, vamos precisar parametrizar a superfície e calcular o elemento de área
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cone. Como o cone é simétrico em torno do eixo
, fica mais fácil usar coordenadas polares. Vamos definir:
Aqui,
é a distância do ponto ao eixo
e
é o ângulo ao redor do eixo. Isso simplifica as coisas porque no cone
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
na nossa parametrização. Para uma superfície parametrizada por
e
, o elemento de área é dado por:
Mas no nosso caso,
, então:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos substituir tudo na integral original. Sabemos que
e
, então:
Agora, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos separar as integrais em
e
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Agora, juntando tudo:
Resposta
O valor da integral de linha é
.
Exercícios relacionados
Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície da região envolvida pelo cilindro circular
e os planos
e
.
Determine a área da parte do plano
no primeiro octante.
Determine o fluxo do campo vetorial
através de
, sendo
a porção da superfície
acima do plano
, e suponha que
seja orientada para cima.
Calcule a integral iterada
(Dica:
).