Calcule a integral de linha
onde é a parte do cone que fica entre os planos e .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície:
Aqui, é a porção do cone que está entre os planos e . Vamos usar o conceito de integração de superfície para resolver isso. Basicamente, vamos somar tudo que está sobre essa superfície usando coordenadas apropriadas. Para isso, vamos precisar parametrizar a superfície e calcular o elemento de área .

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cone. Como o cone é simétrico em torno do eixo , fica mais fácil usar coordenadas polares. Vamos definir:
Aqui, é a distância do ponto ao eixo e é o ângulo ao redor do eixo. Isso simplifica as coisas porque no cone .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área na nossa parametrização. Para uma superfície parametrizada por e , o elemento de área é dado por:
Mas no nosso caso, , então:
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original. Sabemos que e , então:
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos separar as integrais em e :
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Agora, juntando tudo:

Resposta

O valor da integral de linha é .

Exercícios relacionados

Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície da região envolvida pelo cilindro circular e os planos e .
Determine a área da parte do plano no primeiro octante.
Determine o fluxo do campo vetorial através de , sendo a porção da superfície acima do plano , e suponha que seja orientada para cima.
Calcule a integral iterada
(Dica: ).