Calcule a integral de linha
integral duplaS y^2 z^2 d S
onde S é a parte do cone z=raizx^2+y^2 que fica entre os planos z=1 e z=2.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de superfície:
integral duplaS y^2 z^2 d S
Aqui, S é a porção do cone z=raizx^2+y^2 que está entre os planos z=1 e z=2. Vamos usar o conceito de integração de superfície para resolver isso. Basicamente, vamos somar tudo que está sobre essa superfície usando coordenadas apropriadas. Para isso, vamos precisar parametrizar a superfície e calcular o elemento de área dS.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cone. Como o cone é simétrico em torno do eixo z, fica mais fácil usar coordenadas polares. Vamos definir:
x = r cos theta y = r sin theta z = r
Aqui, r é a distância do ponto ao eixo z e theta é o ângulo ao redor do eixo. Isso simplifica as coisas porque no cone z = r.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS na nossa parametrização. Para uma superfície parametrizada por r e theta, o elemento de área é dado por:
dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r , dr , dtheta
Mas no nosso caso, z = r, então:
partial zpartial r = 1 partial zpartial theta = 0
Substituindo na fórmula:
dS = raiz1^2 + 0^2 + 1 , r , dr , dtheta = raiz2 , r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original. Sabemos que y = r sin theta e z = r, então:
y^2 z^2 = (r sin theta)^2 (r)^2 = r^4 sin^2 theta
Agora, nossa integral fica:
integral duplaS y^2 z^2 d S = integral duplaS r^4 sin^2 theta cdot raiz2 , r , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi integral1^2 r^5 sin^2 theta , dr , dtheta

Passo 5

Vamos separar as integrais em r e theta:
  1. Integral em r:
integral1^2 r^5 , dr = [ r^66 ]1^2 = 2^66 - 1^66 = 646 - 16 = 636 = 10,5
  1. Integral em theta:
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta
Sabemos que:
sin^2 theta = 1 - cos(2theta)2
Então:
integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = integral0^2pi 1 - cos(2theta)2 , dtheta = 12 [ theta - sin(2theta)2 ]0^2pi = 12 (2pi - 0) = pi

Passo 6

Agora, juntando tudo:
integral duplaS y^2 z^2 d S = raiz2 times 10,5 times pi = 10,5 raiz2 pi

Resposta

O valor da integral de linha é 10,!5, raiz2, pi.

Exercícios relacionados