Calcule a integral iterada. integral1 / 3^1 / 2 integral0^pi integral0^1 z x sen(x y) d z d y d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular uma integral iterada, que é uma integral com múltiplas variáveis. Neste caso, temos três integrais envolvendo , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a integral0^1 z x sin(x y) , dz . A função a ser integrada é x sin(x y) integral0^1 z , dz . A integral fica:
integral0^1 z , dz = [ z^22 ]0^1 = 12
Como x sin(x y) cdot 12 = x sin(x y)2 e são constantes em relação a , podemos fatorá-los para fora da integral:
Agora, calculamos a integral de de 0 a 1:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado na próxima integral, que é em relação a integral0^pi x sin(x y)2 , dy = x2 integral0^pi sin(x y) , dy :
integral sin(a y) , dy = -cos(a y)a + C
Para resolver essa integral, usamos a fórmula básica:
x2 [ -cos(x y)x ]0^pi = x2 ( -cos(pi x) + cos(0)x ) = 1 - cos(pi x)2
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, restou apenas a última integral, que é em relação a integral13^12 1 - cos(pi x)2 , dx = 12 integral13^12 (1 - cos(pi x)) , dx :
12 [ integral 1 , dx - integral cos(pi x) , dx ] = 12 [ x - sin(pi x)pi ]13^12
Vamos integrar termo a termo:
12 ( ( 12 - sin(pi2)pi ) - ( 13 - sin(pi3)pi ) )
Substituindo os limites de integração:
12 ( 12 - 1pi - 13 + raiz32pi ) = 112 + raiz3 - 24pi
Sabendo que e , substituímos:

Resposta

112 + raiz3 - 24 pi

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