Calcule a integral iterada.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular uma integral iterada, que é uma integral com múltiplas variáveis. Neste caso, temos três integrais envolvendo
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a
. A função a ser integrada é
. A integral fica:
Como
e
são constantes em relação a
, podemos fatorá-los para fora da integral:
Agora, calculamos a integral de
de 0 a 1:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, substituímos o resultado na próxima integral, que é em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a fórmula básica:
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, restou apenas a última integral, que é em relação a
:
Vamos integrar termo a termo:
Substituindo os limites de integração:
Sabendo que
e
, substituímos: