Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido. O sólido compreendido entre o cone z = (h * r) / a e o plano z = h.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O exercício pede pra gente usar coordenadas cilíndricas para achar o volume de um sólido que está entre um cone dado pela equação e um plano horizontal . Então, vamos precisar saber como funciona coordenadas cilíndricas e como configurar uma integral tripla para calcular volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma maneira de representar pontos no espaço usando três parâmetros: (a distância do ponto até o eixo ), (o ângulo em relação ao eixo ) e (a altura). A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
O “r” na frente vem do Jacobiano da transformação, que ajusta a “espessura” das fatias cilíndricas.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para cada variável:
  1. : Como o sólido é simétrico em torno do eixo , varia de a .
  2. : O raio vai de até o ponto onde o cone e o plano se encontram. Encontramos isso igualando no cone ao do plano:
Então, varia de a .
3. : Para cada , vai do cone até o plano, ou seja, de até .

Passo 4

Com os limites definidos, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, nossa integral fica:
Simplificando dentro da integral:
Vamos integrar em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é .

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