Use coordenadas cilíndricas para encontrar o volume do sólido. O sólido compreendido entre o cone
e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui. O exercício pede pra gente usar coordenadas cilíndricas para achar o volume de um sólido que está entre um cone dado pela equação
e um plano horizontal
. Então, vamos precisar saber como funciona coordenadas cilíndricas e como configurar uma integral tripla para calcular volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma maneira de representar pontos no espaço usando três parâmetros:
(a distância do ponto até o eixo
),
(o ângulo em relação ao eixo
) e
(a altura). A fórmula para o volume em coordenadas cilíndricas é:
O “r” na frente vem do Jacobiano da transformação, que ajusta a “espessura” das fatias cilíndricas.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para cada variável:
-
: Como o sólido é simétrico em torno do eixo , varia de a . -
: O raio vai de até o ponto onde o cone e o plano se encontram. Encontramos isso igualando no cone ao do plano:
Então,
varia de
a
.
3. : Para cada
,
vai do cone até o plano, ou seja, de
até
.
3.
Passo 4
Com os limites definidos, a integral fica:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, nossa integral fica:
Simplificando dentro da integral:
Vamos integrar em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
.