Expresse a área da superfície dada como uma integral dupla iterada e, depois, encontre a área de superfície. A parte do cilindro y^2 + z^2 = 9 que está acima do retângulo R={(x, y): 0 <= x <= 2, -3 <= y} y <= 3.

Passo 1

Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de área de superfície usando integrais duplas. A questão pede para expressar a área da superfície de uma parte de um cilindro definido por que está acima de um retângulo no plano , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente o cálculo de áreas de superfícies paramétricas usando integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície que estamos lidando. O cilindro é um cilindro circular com raio 3, estendido infinitamente ao longo do eixo . Queremos a parte desse cilindro que está diretamente acima do retângulo , que vai de a e de a .

Passo 3

Para encontrar a área dessa superfície, vamos usar a fórmula da área de superfície para uma função . A fórmula geral é:
Á
No nosso caso, a equação do cilindro nos dá em termos de :

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
áã

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Á
Simplificando dentro da raiz:
Então, a expressão da área fica:
Á

Passo 6

Agora, vamos integrar sobre a região . Como não depende de , podemos separar a integral:
Á
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Sabemos que:
Neste caso, , então:
Sabemos que e , então:

Passo 7

Agora, voltando à integral externa:
Á

Resposta

A área de superfície é unidades de área.

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