Expresse a área da superfície dada como uma integral dupla iterada e, depois, encontre a área de superfície. A parte do cilindro que está acima do retângulo .
Passo 1
Então, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo de área de superfície usando integrais duplas. A questão pede para expressar a área da superfície de uma parte de um cilindro definido por que está acima de um retângulo no plano , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente o cálculo de áreas de superfícies paramétricas usando integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que estamos lidando. O cilindro é um cilindro circular com raio 3, estendido infinitamente ao longo do eixo . Queremos a parte desse cilindro que está diretamente acima do retângulo , que vai de a e de a .
Passo 3
Para encontrar a área dessa superfície, vamos usar a fórmula da área de superfície para uma função . A fórmula geral é:
No nosso caso, a equação do cilindro nos dá em termos de :
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da área, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a expressão da área fica:
Á
Passo 6
Agora, vamos integrar sobre a região . Como não depende de , podemos separar a integral: