Calcule os limites a seguir, justificando.
lim x 0 x cossec(x)

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é calcular o limite de quando se aproxima de 0. Vamos usar conceitos de limites e funções trigonométricas para resolver isso. Primeiro, é importante saber que é a mesma coisa que cosecante de x, que é .

Passo 2

Vamos reescrever o limite usando essa definição:
limx to 0 x cdot cossec(x) = limx to 0 xsin(x)
Agora, nosso problema é calcular .

Passo 3

Sabemos que um limite importante é:
limx to 0 sin(x)x = 1
Isso mesmo! Esse limite é bem conhecido e útil. Agora, queremos o limite do inverso disso, ou seja, .

Passo 4

Observando que:
limx to 0 xsin(x) = 1limx to 0 sin(x)x = 11 = 1
Então, aplicamos a propriedade dos limites que permite inverter a fração quando o limite existe e é diferente de zero.

Resposta

O limite é igual a 1.

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