Esboce o gráfico das funções abaixo usando os Testes das Derivadas.
b)
SUGESTÂO: Justifique todos os passos. Não se esqueça de justificar sobre as assíndotas
b)
SUGESTÂO: Justifique todos os passos. Não se esqueça de justificar sobre as assíndotas
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função
usando os Testes das Derivadas. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, onde a gente usa a derivada pra entender o comportamento das funções, tipo onde elas crescem, decrescem, e suas concavidades. Pra isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função e analisar seus sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. Sabemos que:
Essa derivada nos diz a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira derivada
. Como o denominador sempre é positivo (
para todo
real), a derivada é sempre positiva. Isso significa que a função
está sempre crescendo, ou seja, é crescente em todo o seu domínio.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada para entender a concavidade da função. Derivando a primeira derivada:
A segunda derivada nos ajuda a saber se a curva está “sorrindo” ou “chorando”.
Passo 5
Analisando a segunda derivada
:
- Se
, : a função é côncava para baixo. - Se
, : a função é côncava para cima. - Se
, : ponto de inflexão.
Passo 6
Agora, vamos identificar as assíntotas da função
. Sabemos que:
- Quando
, - Quando
,
Então, as assíntotas horizontais sãoe .
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função é sempre crescente.
- Tem concavidade para cima quando
e para baixo quando , com ponto de inflexão em . - Possui assíntotas horizontais em
e . - Passa pela origem, já que
.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva sempre crescente, com concavidade para cima à esquerda de
e para baixo à direita. Possui assíntotas horizontais em
e
, e passa pela origem.