Esboce o gráfico das funções abaixo usando os Testes das Derivadas.
b) arctan(x)
SUGESTÂO: Justifique todos os passos. Não se esqueça de justificar sobre as assíndotas

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de esboçar o gráfico da função usando os Testes das Derivadas. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, onde a gente usa a derivada pra entender o comportamento das funções, tipo onde elas crescem, decrescem, e suas concavidades. Pra isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função e analisar seus sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . Sabemos que:
Essa derivada nos diz a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira derivada . Como o denominador sempre é positivo ( para todo x real), a derivada é sempre positiva. Isso significa que a função está sempre crescendo, ou seja, é crescente em todo o seu domínio.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada para entender a concavidade da função. Derivando a primeira derivada:
A segunda derivada nos ajuda a saber se a curva está “sorrindo” ou “chorando”.

Passo 5

Analisando a segunda derivada :
  • Se , : a função é côncava para baixo.
  • Se , : a função é côncava para cima.
  • Se x = 0, : ponto de inflexão.

Passo 6

Agora, vamos identificar as assíntotas da função . Sabemos que:
  • Quando ,
  • Quando ,
    Então, as assíntotas horizontais são e .

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função é sempre crescente.
  • Tem concavidade para cima quando e para baixo quando , com ponto de inflexão em x = 0.
  • Possui assíntotas horizontais em e .
  • Passa pela origem, já que .

Resposta

O gráfico da função é uma curva sempre crescente, com concavidade para cima à esquerda de x = 0 e para baixo à direita. Possui assíntotas horizontais em e , e passa pela origem.

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