Verifique se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries, especialmente os testes de convergência, como o teste da série alternada e o teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos termos converge. Ou seja, se converge, então também converge absolutamente. Se converge, mas não converge, dizemos que a série converge condicionalmente. Se nem nem convercem, a série é divergente.
Passo 3
Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
Sabemos que (12)^n cdot (12)^(-1)^n , que alterna entre 1 e -1 conforme é par ou ímpar. Então, a expressão pode ser reescrita como:
Para par, , então temos . Para ímpar, , então é .
Passo 4
Agora, observamos que (12)^n + cos(npi) <= (12)^n-1 = 2 cdot (12)^n é sempre menor ou igual a , já que . Portanto:
A série é uma série geométrica com razão , o que sabemos que converge. Pelo Teste da Comparação, se uma série maior converge, a série menor também converge.