Verifique se a série sumn=1^infty(-1)^n(12)^n+cos (n pi) é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente precisa verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de análise de séries, especialmente os testes de convergência, como o teste da série alternada e o teste da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos termos converge. Ou seja, se converge, então também converge absolutamente. Se converge, mas não converge, dizemos que a série converge condicionalmente. Se nem nem convercem, a série é divergente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty | (-1)^n (12)^n + cos(npi) | = sumn=1^infty (12)^n + cos(npi)
Sabemos que (12)^n cdot (12)^(-1)^n , que alterna entre 1 e -1 conforme é par ou ímpar. Então, a expressão pode ser reescrita como:
Para par, , então temos . Para ímpar, , então é .

Passo 4

Agora, observamos que (12)^n + cos(npi) <= (12)^n-1 = 2 cdot (12)^n é sempre menor ou igual a , já que . Portanto:
A série é uma série geométrica com razão , o que sabemos que converge. Pelo Teste da Comparação, se uma série maior converge, a série menor também converge.

Resposta

Portanto, a série é absolutamente convergente.

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