Calcule a integral iterada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral tripla, que faz parte do conteúdo de cálculo multivariável. Basicamente, estamos calculando a “área” (no caso, volume) de uma região no espaço usando integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e seguir passo a passo a ordem das integrais que estão dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que precisamos calcular:
Aqui, a ordem das integrais é em relação a
, depois
, e finalmente
. Vamos começar integrando em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar a função
em relação a
, mantendo
e
constantes. A integral de
em relação a
é simplesmente
. Então:
Sabemos que
e
, então:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral seguinte, que é em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos fatorá-lo para fora:
Passo 5
Vamos calcular a integral
:
Agora, avaliamos essa antiderivada de
em relação aos limites de
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, multiplicando por
:
Passo 6
Finalmente, substituímos esse resultado na última integral, que é em relação a
:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, somando tudo:
Passo 7
Agora, avaliamos essa antiderivada de
nos limites de 1 a 3:
Calculando cada termo:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
Portanto, o valor da integral tripla é aproximadamente 39,3334.