Calcule a integral iterada. integral1^3 integralx^x^2 integral0^ln z x e^y d y d z d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral tripla, que faz parte do conteúdo de cálculo multivariável. Basicamente, estamos calculando a “área” (no caso, volume) de uma região no espaço usando integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de várias variáveis e seguir passo a passo a ordem das integrais que estão dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que precisamos calcular:
integral1^3 integralx^x^2 integral0^ln z x e^y , dy , dz , dx
Aqui, a ordem das integrais é em relação a , depois , e finalmente . Vamos começar integrando em relação a .

Passo 3

Vamos integrar a função integral0^ln z x e^y , dy = x [ e^y ]0^ln z = x ( e^ln z - e^0 ) em relação a x (z - 1) , mantendo e constantes. A integral de em relação a é simplesmente . Então:
Sabemos que e , então:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral seguinte, que é em relação a integralx^x^2 x (z - 1) , dz :
x integralx^x^2 (z - 1) , dz
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos fatorá-lo para fora:

Passo 5

Vamos calcular a integral integral (z - 1) , dz = z^22 - z :
x [ ( (x^2)^22 - x^2 ) - ( x^22 - x ) ]
Agora, avaliamos essa antiderivada de x^42 - x^2 - x^22 + x = x^42 - 3x^22 + x em relação aos limites de x ( x^42 - 3x^22 + x ) = x^52 - 3x^32 + x^2 :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, multiplicando por :

Passo 6

Finalmente, substituímos esse resultado na última integral, que é em relação a integral1^3 ( x^52 - 3x^32 + x^2 ) , dx :
integral x^52 , dx = 12 cdot x^66 = x^612
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 3x^32 , dx = 32 cdot x^44 = 3x^48
integral x^2 , dx = x^33
x^612 - 3x^48 + x^33
Então, somando tudo:

Passo 7

Agora, avaliamos essa antiderivada de [ 3^612 - 3 cdot 3^48 + 3^33 ] - [ 1^612 - 3 cdot 1^48 + 1^33 ] nos limites de 1 a 3:
72912 - 3 cdot 818 + 273 = 60.75 - 30.375 + 9 = 39.375
Calculando cada termo:
Para 112 - 38 + 13 approx 0.0833 - 0.375 + 0.3333 = 0.0416 :
39.375 - 0.0416 = 39.3334
Para :
Subtraindo:

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla é aproximadamente 39,3334.

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