Expresse a área da superfície dada como uma integral dupla iterada em coordenadas polares e, depois, encontre a área de superfície. A parte do paraboloide 2z = x^2 + y^2 que fica dentro do cilindro x^2 + y^2 = 8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma parte de um paraboloide, especificamente a parte definida por que está dentro de um cilindro . Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a integração e aplicar a fórmula de área de superfície para superfícies definidas por funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o paraboloide é dado por . Podemos reescrever isso como . Em coordenadas polares, onde e , essa equação fica .

Passo 3

A área de superfície de uma superfície dada por pode ser calculada pela integral dupla:
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas:
Então, a expressão sob a raiz na integral fica:

Passo 5

Agora, vamos expressar tudo em coordenadas polares. Lembrando que e . A integral para a área fica:
Aqui, o limite superior vem do cilindro .

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em :
Fazendo a substituição , então e . A integral vira:

Passo 7

Agora, a integral externa em é:

Resposta

A área da superfície é unidades quadradas.

Exercícios relacionados