Expresse a área da superfície dada como uma integral dupla iterada em coordenadas polares e, depois, encontre a área de superfície. A parte do paraboloide que fica dentro do cilindro .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a área de uma parte de um paraboloide, especificamente a parte definida por que está dentro de um cilindro . Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar a integração e aplicar a fórmula de área de superfície para superfícies definidas por funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o paraboloide é dado por . Podemos reescrever isso como . Em coordenadas polares, onde e , essa equação fica .
Passo 3
A área de superfície de uma superfície dada por pode ser calculada pela integral dupla:
No nosso caso, . Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Então, a expressão sob a raiz na integral fica:
Passo 5
Agora, vamos expressar tudo em coordenadas polares. Lembrando que e . A integral para a área fica:
Aqui, o limite superior vem do cilindro .
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em :
Fazendo a substituição , então e . A integral vira: