Determine todas as soluções das equações no conjunto
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação
no conjunto dos números complexos
. Aqui, vamos usar conceitos de números complexos e raízes de equações polinomiais. Precisaremos entender como encontrar todas as soluções complexas de uma equação do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado:
Isso significa que estamos procurando todos os números complexos
tal que, quando elevados à quarta potência, resultem em 1.
Passo 3
Agora, vamos representar o número 1 na forma polar dos números complexos. Todo número complexo pode ser escrito como
, onde
é o módulo e
é o argumento. Para o número 1:
Aqui,
e
(já que 1 está no ponto
no plano complexo).
Passo 4
Para encontrar as soluções de
, usamos a fórmula das raízes
-ésimas dos números complexos. A fórmula geral para as soluções é:
onde:
-
é o módulo do número complexo (neste caso, 1), -
é o argumento (neste caso, 0), -
é o grau da raiz (neste caso, 4), - e
varia de 0 a (ou seja, 0, 1, 2, 3).
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula:
Pois
.
Passo 6
Agora, vamos calcular cada uma das quatro soluções substituindo
por 0, 1, 2 e 3:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As soluções da equação
no conjunto dos números complexos são: