Determine todas as soluções das equações no conjunto C.
(b) z^4 - 1 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação no conjunto dos números complexos . Aqui, vamos usar conceitos de números complexos e raízes de equações polinomiais. Precisaremos entender como encontrar todas as soluções complexas de uma equação do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado:
Isso significa que estamos procurando todos os números complexos tal que, quando elevados à quarta potência, resultem em 1.

Passo 3

Agora, vamos representar o número 1 na forma polar dos números complexos. Todo número complexo pode ser escrito como , onde é o módulo e é o argumento. Para o número 1:
Aqui, e (já que 1 está no ponto no plano complexo).

Passo 4

Para encontrar as soluções de , usamos a fórmula das raízes -ésimas dos números complexos. A fórmula geral para as soluções é:
onde:
  • é o módulo do número complexo (neste caso, 1),
  • é o argumento (neste caso, 0),
  • é o grau da raiz (neste caso, 4),
  • e varia de 0 a (ou seja, 0, 1, 2, 3).

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
Pois .

Passo 6

Agora, vamos calcular cada uma das quatro soluções substituindo por 0, 1, 2 e 3:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

As soluções da equação no conjunto dos números complexos são:

Exercícios relacionados