Calcule a integral:
integral sen 2 x sen 6 x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos usar identidades trigonométricas que ajudam a simplificar o produto de senos antes de integrar.

Passo 2

Para facilitar a integração, vamos usar a identidade trigonométrica que transforma o produto de senos em uma soma de cossenos:
Aqui, sen A sen B = cos(A - B) - cos(A + B)2 e sen 2x sen 6x = cos(6x - 2x) - cos(6x + 2x)2 = cos 4x - cos 8x2 . Aplicando a identidade:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:

Passo 4

Vamos integrar cada cosseno separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
e

Passo 5

Substituindo as integrais resolvidas de volta na expressão:
Podemos simplificar os coeficientes:

Resposta

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