Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: , não é analítica para todo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se essa função é analítica para todo número complexo no conjunto dos números complexos . Para resolver isso, vamos usar os Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para uma função ser analítica.

Passo 2

Vamos começar expressando o número complexo na forma , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. Assim, temos:
A parte imaginária de é , então:

Passo 3

Agora, para verificar se é analítica, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que, se uma função for analítica, então as seguintes condições devem ser satisfeitas:
No nosso caso, é uma função real, então a parte real e a parte imaginária . Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Substituindo essas derivadas nas Equações de Cauchy-Riemann, temos:
Essas equações só são verdadeiras se e , ou seja, somente no ponto .

Passo 5

Como as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas para todos os em , exceto possivelmente no ponto , concluímos que a função não é analítica em todo o plano complexo.

Resposta

A afirmação é verdadeira: não é analítica para todo .

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Suponha que a corrente em um circuito elétrico satisfaça a equação , com e constantes positivas. Mostre que quando .
Calcule a integral:
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: é analítica em .
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: não é analítica em .