Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
, não é analítica para todo
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos verificar se essa função é analítica para todo número complexo
no conjunto dos números complexos
. Para resolver isso, vamos usar os Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para uma função ser analítica.
Passo 2
Vamos começar expressando o número complexo
na forma
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. Assim, temos:
A parte imaginária de
é
, então:
Passo 3
Agora, para verificar se
é analítica, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann. Essas equações dizem que, se uma função
for analítica, então as seguintes condições devem ser satisfeitas:
No nosso caso,
é uma função real, então a parte real
e a parte imaginária
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Substituindo essas derivadas nas Equações de Cauchy-Riemann, temos:
Essas equações só são verdadeiras se
e
, ou seja, somente no ponto
.
Passo 5
Como as Equações de Cauchy-Riemann não são satisfeitas para todos os
em
, exceto possivelmente no ponto
, concluímos que a função
não é analítica em todo o plano complexo.
Resposta
A afirmação é verdadeira:
não é analítica para todo
.
Exercícios relacionados
Suponha que a corrente em um circuito elétrico satisfaça a equação
, com
e
constantes positivas. Mostre que
quando
.
Calcule a integral:
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
é analítica em
.
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente:
não é analítica em
.