Suponha que a corrente em um circuito elétrico satisfaça a equação
, com
e
constantes positivas. Mostre que
quando
.
Passo 1
Tá, então vamos lá! O exercício fala de um circuito elétrico onde a corrente, que a gente chama de
, segue uma equação diferencial:
. Aqui,
,
e
são constantes positivas. Nosso objetivo é mostrar que, quando o tempo
vai para o infinito, a corrente
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais e como elas se comportam no longo prazo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação linear de primeira ordem. A gente pode resolver usando o método do fator integrante. Vamos rearranjar a equação:
Passo 3
Agora, identificamos que a equação tem a forma
, onde
e
. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo
:
A integral do lado direito fica:
Então, temos:
Passo 6
Dividimos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Agora, analisamos o comportamento quando
vai para o infinito. O termo
tende a zero, porque o expoente é negativo e
aumenta sem limite. Portanto:
Resposta
Quando
tende ao infinito, a corrente
se aproxima de
.