Suponha que a corrente em um circuito elétrico satisfaça a equação , com e constantes positivas. Mostre que quando .

Passo 1

Tá, então vamos lá! O exercício fala de um circuito elétrico onde a corrente, que a gente chama de , segue uma equação diferencial: . Aqui, , e são constantes positivas. Nosso objetivo é mostrar que, quando o tempo vai para o infinito, a corrente se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de equações diferenciais e como elas se comportam no longo prazo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação linear de primeira ordem. A gente pode resolver usando o método do fator integrante. Vamos rearranjar a equação:

Passo 3

Agora, identificamos que a equação tem a forma , onde e . O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo :
A integral do lado direito fica:
Então, temos:

Passo 6

Dividimos ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Agora, analisamos o comportamento quando vai para o infinito. O termo tende a zero, porque o expoente é negativo e aumenta sem limite. Portanto:

Resposta

Quando tende ao infinito, a corrente se aproxima de .

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Calcule a integral:
Determine se as seguintes funções são crescente, decrescente, não-crescente ou nãodecrescente:
:
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: , não é analítica para todo .
Verifique se as seguintes afirmações são verdadeiras, justificando convenientemente: é analítica em .