Calcule a integral de linha em que
é a curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha
, onde
é uma curva definida pelas equações paramétricas
e
, com
variando de
a
. Isso envolve o cálculo de integrais em curvas usando parametrizações.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa
. Em termos simples,
representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva
. Para curvas parametrizadas,
pode ser calculado usando as derivadas das funções que descrevem a curva.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas nos ajudam a calcular
.
Passo 4
A fórmula para
em uma curva paramétrica é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
E sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, substituímos
na integral original:
Vamos expandir
para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Para
, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Passo 7
Somando tudo:
Resposta
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e
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, com o parabolóide
.
$(a) Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência
.