Calcule a integral de linha em que C é a curva dada.
(j) integralC y^2 d s, C: x=1-sen t, y=1-cos t, 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é uma curva definida pelas equações paramétricas e , com variando de a . Isso envolve o cálculo de integrais em curvas usando parametrizações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa . Em termos simples, representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva . Para curvas parametrizadas, pode ser calculado usando as derivadas das funções que descrevem a curva.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de dxdt = -cos t e dydt = sin t e em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a calcular .

Passo 4

A fórmula para ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt em uma curva paramétrica é:
ds = raiz(-cos t)^2 + (sin t)^2 , dt = raizcos^2 t + sin^2 t , dt
Substituindo as derivadas que encontramos:
ds = raiz1 , dt = dt
E sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos integralC y^2 , ds = integral0^2pi (1 - cos t)^2 , dt na integral original:
(1 - cos t)^2 = 1 - 2cos t + cos^2 t
Vamos expandir integral0^2pi (1 - 2cos t + cos^2 t) , dt para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral0^2pi 1 , dt = 2pi
integral0^2pi -2cos t , dt = -2 [ sin t ]0^2pi = -2(0 - 0) = 0
Para cos^2 t = 1 + cos 2t2 , usamos a identidade trigonométrica:
integral0^2pi cos^2 t , dt = integral0^2pi 1 + cos 2t2 , dt = 12 integral0^2pi 1 , dt + 12 integral0^2pi cos 2t , dt = 12 cdot 2pi + 0 = pi
Então:

Passo 7

Somando tudo:
2pi + 0 + pi = 3pi

Resposta

integralC y^2 , ds = 3pi

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