Calcule a integral de linha em que é a curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é uma curva definida pelas equações paramétricas e , com variando de a . Isso envolve o cálculo de integrais em curvas usando parametrizações.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa . Em termos simples, representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva . Para curvas parametrizadas, pode ser calculado usando as derivadas das funções que descrevem a curva.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a calcular .

Passo 4

A fórmula para em uma curva paramétrica é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
E sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos na integral original:
Vamos expandir para facilitar a integração:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
Para , usamos a identidade trigonométrica:
Então:

Passo 7

Somando tudo:

Resposta

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é a curva obtida como interseção do semiplano , com o parabolóide .
$(a) Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência .