Calcule a integral de linha em que C é a curva dada.
(k) integralC(x+y) d s, C é a curva obtida como interseção do semiplano x=y, y >= 0, com o parabolóide z=x^2+y^2, z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde é a curva formada pela interseção do semiplano com e o parabolóide limitado por . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva z = x^2 + x^2 = 2x^2 . Como 2x^2 <= 2 implies x^2 <= 1 implies -1 <= x <= 1 é a interseção do semiplano com o parabolóide , substituímos na equação do parabolóide:
Além disso, temos que , então:
Como e , temos que . Portanto, varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva x = t, y = t, z = 2t^2, onde 0 <= t <= 1 . Podemos usar r(t) = lang<= t, t, 2t^2 rang<= como parâmetro :
Assim, o vetor posição da curva é:

Passo 4

Para calcular d s = |r'(t)| , dt , a diferencial de arco, usamos a fórmula:
r'(t) = lang<= dxdt, dydt, dzdt rang<= = lang<= 1, 1, 4t rang<=
Primeiro, calculamos a derivada de |r'(t)| = raiz1^2 + 1^2 + (4t)^2 = raiz1 + 1 + 16t^2 = raiz2 + 16t^2 :
Então, a norma de é:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de linha:
integralC (x + y) , d s = integral0^1 (t + t) raiz2 + 16t^2 , dt = integral0^1 2t raiz2 + 16t^2 , dt

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja:
u = 2 + 16t^2 implies dudt = 32t implies dt = du32t
Substituindo na integral:
integral 2t raizu cdot du32t = 116 integral raizu , du

Passo 7

Agora, integramos 116 integral u^1/2 , du = 116 cdot 23 u^3/2 = 124 u^3/2 :
124 (2 + 16t^2)^3/2
Voltando para :

Passo 8

Aplicamos os limites de integração de 124 (2 + 16t^2)^3/2 |0^1 = 124 [ (2 + 16 cdot 1^2)^3/2 - (2 + 16 cdot 0^2)^3/2 ] = 124 [ 18^3/2 - 2^3/2 ] a 18^3/2 = (9 cdot 2)^3/2 = 9^3/2 cdot 2^3/2 = 27 cdot 2.828 approx 76.367 :
2^3/2 = 2 cdot raiz2 approx 2.828
Calculando:
124 (76.367 - 2.828) approx 124 cdot 73.539 approx 3.064
Então:

Resposta

A integral de linha é aproximadamente .

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