Calcule a integral de linha em que é a curva dada. é a curva obtida como interseção do semiplano , com o parabolóide .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde é a curva formada pela interseção do semiplano com e o parabolóide limitado por . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da curva . Como é a interseção do semiplano com o parabolóide , substituímos na equação do parabolóide:
Além disso, temos que , então:
Como e , temos que . Portanto, varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva . Podemos usar como parâmetro :
Assim, o vetor posição da curva é:
Passo 4
Para calcular , a diferencial de arco, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos a derivada de :
Então, a norma de é:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral de linha:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja: