Calcule a integral de linha em que é a curva dada.
é a curva obtida como interseção do semiplano , com o parabolóide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha , onde é a curva formada pela interseção do semiplano com e o parabolóide limitado por . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da curva . Como é a interseção do semiplano com o parabolóide , substituímos na equação do parabolóide:
Além disso, temos que , então:
Como e , temos que . Portanto, varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva . Podemos usar como parâmetro :
Assim, o vetor posição da curva é:

Passo 4

Para calcular , a diferencial de arco, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos a derivada de :
Então, a norma de é:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral de linha:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, integramos :
Voltando para :

Passo 8

Aplicamos os limites de integração de a :
Calculando:
Então:

Resposta

A integral de linha é aproximadamente .

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