Calcule a integral de linha em que é a curva dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a curva é definida pelas equações paramétricas:
Vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente soma valores ao longo de uma curva. Para isso, vamos parametrizar a curva e integrar em relação ao parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse termo representa um “pequeno pedaço” de comprimento ao longo da curva. Matematicamente, pode ser calculado usando as derivadas das funções paramétricas:
Então, vamos calcular as derivadas de , e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Agora, vamos substituir esses valores na expressão de :
Simplificando dentro da raiz:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral dada em termos de :
Substituindo , e :
Então a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar os coeficientes:
Então a integral agora é:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar , então , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na integral:
Quando , . Quando , . Então:
Integrando:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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