Calcule a integral de linha em que C é a curva dada.
integralC x y^3 d s, C: x=4 sen t, y=4 cos t, z=3 t, 0 <= t <= pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha x = 4 sin t, y = 4 cos t, z = 3t, 0 <= t <= pi2 , onde a curva é definida pelas equações paramétricas:
Vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente soma valores ao longo de uma curva. Para isso, vamos parametrizar a curva e integrar em relação ao parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt . Esse termo representa um “pequeno pedaço” de comprimento ao longo da curva. Matematicamente, pode ser calculado usando as derivadas das funções paramétricas:
Então, vamos calcular as derivadas de , e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
dxdt = 4 cos t, dydt = -4 sin t, dzdt = 3
Agora, vamos substituir esses valores na expressão de ds = raiz(4 cos t)^2 + (-4 sin t)^2 + 3^2 , dt = raiz16 cos^2 t + 16 sin^2 t + 9 :
16 (cos^2 t + sin^2 t) + 9 = 16(1) + 9 = 25
Simplificando dentro da raiz:
ds = raiz25 , dt = 5 , dt
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral dada em termos de integralC x y^3 , ds = integral0^pi2 x(t) , y(t)^3 , ds :
x(t) = 4 sin t, y(t)^3 = (4 cos t)^3 = 64 cos^3 t, ds = 5 , dt
Substituindo integral0^pi2 (4 sin t) times 64 cos^3 t times 5 , dt , e :
Então a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar os coeficientes:
4 times 64 times 5 = 1280
Então a integral agora é:
1280 integral0^pi2 sin t cos^3 t , dt
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar , então , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na integral:
1280 integralu(0)^u(pi2) u^3 times (-du)
Quando 1280 integral1^0 u^3 times (-du) = 1280 integral0^1 u^3 , du , 1280 [ u^44 ]0^1 = 1280 ( 14 - 0 ) = 1280 times 14 = 320 . Quando , . Então:
Integrando:

Resposta

O valor da integral de linha é .

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