Calcule a integral de linha em que
é a curva dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde a curva
é definida pelas equações paramétricas:
Vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente soma valores ao longo de uma curva. Para isso, vamos parametrizar a curva e integrar em relação ao parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse termo representa um “pequeno pedaço” de comprimento ao longo da curva. Matematicamente,
pode ser calculado usando as derivadas das funções paramétricas:
Então, vamos calcular as derivadas de
,
e
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora, vamos substituir esses valores na expressão de
:
Simplificando dentro da raiz:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral dada em termos de
:
Substituindo
,
e
:
Então a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar os coeficientes:
Então a integral agora é:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Vamos deixar
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo na integral:
Quando
,
. Quando
,
. Então:
Integrando:
Resposta
O valor da integral de linha é
.