Um objeto em movimento circular de raio tem ângulo dado pela função horária em unidades do S.I… (a) Qual é a velocidade angular em função do tempo? (b) Qual é a aceleração angular em função do tempo? © No instante , qual é o módulo da velocidade linear? (d) No instante , qual é o módulo da aceleração linear?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um objeto que está se movendo em um círculo com raio de 5,0 metros. A posição angular desse objeto em função do tempo é dada por uma função meio complicada, mas não se preocupa que a gente vai descomplicar isso juntos. Vamos usar alguns conceitos de movimento circular: velocidade angular, aceleração angular, velocidade linear e aceleração linear. Vamos resolver as partes (a) até (d) passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade angular. Ela representa o quanto o ângulo muda por unidade de tempo. Matematicamente, é a derivada da posição angular em relação ao tempo.
A função horária do ângulo é:
Para encontrar a velocidade angular, derivamos em relação a .

Passo 3

Vamos derivar passo a passo:
Derivando em relação a :

Passo 4

Simplificando a expressão da velocidade angular:

Passo 5

Agora vamos para a parte (b), que pede a aceleração angular. A aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo.
Então, vamos derivar :

Passo 6

Legal, agora temos tanto a velocidade angular quanto a aceleração angular em função do tempo.
Vamos resumir:

Passo 7

Parte © pede para calcular a velocidade linear no instante segundos. A velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
Onde .
Primeiro, vamos calcular :

Passo 8

Agora, calculamos a velocidade linear:
O sinal negativo indica a direção, mas como queremos o módulo, vamos considerar apenas o valor positivo.

Passo 9

Parte (d) pede para calcular a aceleração linear no instante segundos. A aceleração linear tem duas partes: tangencial e centrípeta.
A aceleração tangencial está relacionada à aceleração angular:
E a aceleração centrípeta é dada por:
Vamos calcular cada uma.

Passo 10

Primeiro, calculamos :

Passo 11

Agora, a aceleração tangencial:
E a aceleração centrípeta:

Passo 12

Por fim, a aceleração linear total é a combinação vetorial das acelerações tangencial e centrípeta. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:

Resposta

(a) A velocidade angular em função do tempo é rad/s.
(b) A aceleração angular em função do tempo é rad/s².
© No instante s, o módulo da velocidade linear é aproximadamente m/s.
(d) No instante s, o módulo da aceleração linear é aproximadamente m/s².

Exercícios relacionados

Um pneu de bicicleta de aro 29 cm de 700 g gira com velocidade angular de . O freio da bicicleta aplica um torque constante de 300 N m. Não atuam outras forças no sistema, a bicicleta está suspensa. (a) Quantas voltas o pneu de bicicleta irá completar até parar? (b) Faça um gráfico da potência dissipada. © Se usamos o mesmo torque para parar uma bicicleta com um ciclista de e velocidade de , qual será a distância percorrida pelo ciclista? Desconsidere a energia dos pneus.
Calcule a integral de linha em que é a curva dada.
Dois discos homogêneos com massa e estão atravessados perpendicularmente por um eixo em comum de raio desprezível. Não há atrito entre o eixo e os discos mas há atrito entre os discos. Assim, os discos, que estão colocados lado a lado, estão livres para rodar ao redor do eixo comum. Os seus raios são e , possuem a mesma espessura e as suas velocidades angulares iniciais são e . (a) Há conservação de momento angular? (b) Há conservação de energia? © Qual será a velocidade angular dos discos quando ambos estiverem com a mesma velocidade?
Considere uma bicicleta com os seguintes raios: 17 cm no pedal, na marcha dianteira, na marcha traseira e, finalmente, 32 cm na roda traseira. Considere que a bicicleta anda com velocidade constante. Qual é a força que a roda traseira aplica no chão quando o ciclista aplica um torque (quando o pedal está na horizontal) usando apenas o seu peso de 500 N?