Um objeto em movimento circular de raio 5,0 m tem ângulo dado pela função horária varphi= (2 pi / 100)(7,0+5,0 t^2-2,0 t^3) em unidades do S.I… (a) Qual é a velocidade angular em função do tempo? (b) Qual é a aceleração angular em função do tempo? © No instante t=6,0 s, qual é o módulo da velocidade linear? (d) No instante t=6,0 s, qual é o módulo da aceleração linear?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um objeto que está se movendo em um círculo com raio de 5,0 metros. A posição angular desse objeto em função do tempo é dada por uma função meio complicada, mas não se preocupa que a gente vai descomplicar isso juntos. Vamos usar alguns conceitos de movimento circular: velocidade angular, aceleração angular, velocidade linear e aceleração linear. Vamos resolver as partes (a) até (d) passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade angular. Ela representa o quanto o ângulo muda por unidade de tempo. Matematicamente, é a derivada da posição angular em relação ao tempo.
A função horária do ângulo é:
varphi(t) = (2pi100)(7,0 + 5,0 t^2 - 2,0 t^3)
Para encontrar a velocidade angular, derivamos em relação a .

Passo 3

Vamos derivar varphi(t) = (2pi100)(7,0 + 5,0 t^2 - 2,0 t^3) passo a passo:
omega(t) = dvarphidt = (2pi100)(0 + 10,0 t - 6,0 t^2) = (2pi100)(10,0 t - 6,0 t^2)
Derivando em relação a :

Passo 4

Simplificando a expressão da velocidade angular:
omega(t) = 2pi100 times (10,0 t - 6,0 t^2) = pi50 times (10 t - 6 t^2)
omega(t) = pi5 t - 3pi25 t^2

Passo 5

Agora vamos para a parte (b), que pede a aceleração angular. A aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo.
Então, vamos derivar alpha(t) = domegadt = pi5 - 6pi25 t :

Passo 6

Legal, agora temos tanto a velocidade angular quanto a aceleração angular em função do tempo.
Vamos resumir:
omega(t) = pi5 t - 3pi25 t^2
alpha(t) = pi5 - 6pi25 t

Passo 7

Parte © pede para calcular a velocidade linear no instante v = r cdot omega segundos. A velocidade linear omega(6) = pi5 times 6 - 3pi25 times 6^2 = 6pi5 - 108pi25 = 30pi25 - 108pi25 = -78pi25 está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
omega(6) approx -78 times 3,141625 approx -9,817 , rad/s
Onde .
Primeiro, vamos calcular :

Passo 8

Agora, calculamos a velocidade linear:
v = 5,0 , m times (-9,817 , rad/s) approx -49,085 , m/s
O sinal negativo indica a direção, mas como queremos o módulo, vamos considerar apenas o valor positivo.

Passo 9

Parte (d) pede para calcular a aceleração linear no instante at = r cdot alpha segundos. A aceleração linear ac = r cdot omega^2 tem duas partes: tangencial e centrípeta.
A aceleração tangencial está relacionada à aceleração angular:
E a aceleração centrípeta é dada por:
Vamos calcular cada uma.

Passo 10

Primeiro, calculamos alpha(6) = pi5 - 6pi25 times 6 = pi5 - 36pi25 = 5pi25 - 36pi25 = -31pi25 :
alpha(6) approx -31 times 3,141625 approx -3,898 , rad/s^2

Passo 11

Agora, a aceleração tangencial:
at = 5,0 , m times (-3,898 , rad/s^2) approx -19,49 , m/s^2
E a aceleração centrípeta:
ac = 5,0 , m times (-9,817 , rad/s)^2 = 5,0 times 96,403 approx 482,02 , m/s^2

Passo 12

Por fim, a aceleração linear total é a combinação vetorial das acelerações tangencial e centrípeta. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:
a = raizat^2 + ac^2 = raiz(-19,49)^2 + (482,02)^2 approx raiz379,65 + 232298,08 approx raiz232677,73 approx 482,3 , m/s^2

Resposta

(a) A velocidade angular em função do tempo é rad/s.
(b) A aceleração angular em função do tempo é rad/s².
© No instante s, o módulo da velocidade linear é aproximadamente m/s.
(d) No instante s, o módulo da aceleração linear é aproximadamente m/s².

Exercícios relacionados