Um objeto em movimento circular de raio
tem ângulo dado pela função horária
em unidades do S.I… (a) Qual é a velocidade angular em função do tempo? (b) Qual é a aceleração angular em função do tempo? © No instante
, qual é o módulo da velocidade linear? (d) No instante
, qual é o módulo da aceleração linear?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um objeto que está se movendo em um círculo com raio de 5,0 metros. A posição angular desse objeto em função do tempo é dada por uma função meio complicada, mas não se preocupa que a gente vai descomplicar isso juntos. Vamos usar alguns conceitos de movimento circular: velocidade angular, aceleração angular, velocidade linear e aceleração linear. Vamos resolver as partes (a) até (d) passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade angular. Ela representa o quanto o ângulo muda por unidade de tempo. Matematicamente, é a derivada da posição angular em relação ao tempo.
A função horária do ângulo é:
Para encontrar a velocidade angular, derivamos
em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar
passo a passo:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Simplificando a expressão da velocidade angular:
Passo 5
Agora vamos para a parte (b), que pede a aceleração angular. A aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo.
Então, vamos derivar
:
Passo 6
Legal, agora temos tanto a velocidade angular quanto a aceleração angular em função do tempo.
Vamos resumir:
Passo 7
Parte © pede para calcular a velocidade linear no instante
segundos. A velocidade linear
está relacionada à velocidade angular pela fórmula:
Onde
.
Primeiro, vamos calcular
:
Passo 8
Agora, calculamos a velocidade linear:
O sinal negativo indica a direção, mas como queremos o módulo, vamos considerar apenas o valor positivo.
Passo 9
Parte (d) pede para calcular a aceleração linear no instante
segundos. A aceleração linear
tem duas partes: tangencial e centrípeta.
A aceleração tangencial
está relacionada à aceleração angular:
E a aceleração centrípeta
é dada por:
Vamos calcular cada uma.
Passo 10
Primeiro, calculamos
:
Passo 11
Agora, a aceleração tangencial:
E a aceleração centrípeta:
Passo 12
Por fim, a aceleração linear total é a combinação vetorial das acelerações tangencial e centrípeta. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:
Resposta
(a) A velocidade angular em função do tempo é
rad/s.
(b) A aceleração angular em função do tempo é
rad/s².
© No instante
s, o módulo da velocidade linear é aproximadamente
m/s.
(d) No instante
s, o módulo da aceleração linear é aproximadamente
m/s².