Calcule a integral de linha, em que
é a curva espacial fornecida.
,
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisa calcular uma integral de linha. A integral dada é:
A curva
é definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar o método de parametrização para integrar ao longo da curva
.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar
,
e
em termos de
. Como
,
e
são funções de
, vamos derivar cada uma delas em relação a
:
Passo 3
Agora, substituímos
,
,
,
,
e
na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo por termo:
Para o segundo termo, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral fica:
Passo 6
Juntando tudo, a integral se torna:
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Sabemos que:
Então:
Para
:
Como
e
:
Passo 7
Subtraindo o valor em
do valor em
:
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Represente graficamente os conjuntos abaixo.
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Calcule a integral de linha, em que
é a curva espacial fornecida.
,
C é o segmento de reta que vai de a
C é o segmento de reta que vai de
Calcule a integral de linha, em que
é a curva espacial fornecida.
,