Calcule a integral de linha, em que C é a curva espacial fornecida.
integralC z d x+x y d y+y^2 d z,
C: x=sen t, y=cos t, z=tg t, -pi / 4 <= t <= pi / 4

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisa calcular uma integral de linha. A integral dada é:
integralC z , dx + x y , dy + y^2 , dz
A curva x = sin t, y = cos t, z = tan t, -pi4 <= t <= pi4 é definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar o método de parametrização para integrar ao longo da curva .

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar dxdt = cos t Rightarrow dx = cos t , dt , dydt = -sin t Rightarrow dy = -sin t , dt e dzdt = sec^2 t Rightarrow dz = sec^2 t , dt em termos de . Como , e são funções de , vamos derivar cada uma delas em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos integralC z , dx + x y , dy + y^2 , dz = integral-pi4^pi4 ( tan t cdot cos t + sin t cdot cos t cdot (-sin t) + cos^2 t cdot sec^2 t ) dt , , , , e na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
  1. integral-pi4^pi4 ( sin t - sin^2 t cdot cos t + 1 ) dt
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo por termo:
  1. -integral u^2 , du = -u^33 = -sin^3 t3
Para o segundo termo, fazemos uma substituição simples. Seja , então . A integral fica:

Passo 6

Juntando tudo, a integral se torna:
-cos t - sin^3 t3 + t g|-pi4^pi4
Agora, substituímos os limites de integração:
Para -cos(pi4) - sin^3(pi4)3 + pi4 :
cos(pi4) = raiz22, sin(pi4) = raiz22
Sabemos que:
-raiz22 - (raiz22)^33 + pi4 = -raiz22 - raiz212 + pi4
Então:
-cos(-pi4) - sin^3(-pi4)3 + (-pi4)
Para -raiz22 - (-raiz22)^33 - pi4 = -raiz22 - -raiz212 - pi4 :
Como e :

Passo 7

Subtraindo o valor em (-raiz22 - raiz212 + pi4) - (-raiz22 + raiz212 - pi4) do valor em -raiz22 - raiz212 + pi4 + raiz22 - raiz212 + pi4 = -2raiz212 + 2pi4 :
-raiz26 + pi2
Simplificando:
Simplificando ainda mais:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados