Calcule a integral de linha, em que é a curva espacial fornecida.
,

Passo 1

Então, a gente tem um exercício onde precisa calcular uma integral de linha. A integral dada é:
A curva é definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar o método de parametrização para integrar ao longo da curva .

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar , e em termos de . Como , e são funções de , vamos derivar cada uma delas em relação a :

Passo 3

Agora, substituímos , , , , e na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo por termo:
Para o segundo termo, fazemos uma substituição simples. Seja , então . A integral fica:

Passo 6

Juntando tudo, a integral se torna:
Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Sabemos que:
Então:
Para :
Como e :

Passo 7

Subtraindo o valor em do valor em :
Simplificando:
Simplificando ainda mais:

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados

Represente graficamente os conjuntos abaixo.
(a) ;
(b) ;
© ;
(d) ;
(e) .
Calcule a integral de linha, em que é a curva espacial fornecida.
,
C é o segmento de reta que vai de a
Calcule a integral de linha, em que é a curva espacial fornecida.
,