Calcule a integral de linha, em que
é a curva espacial fornecida.
,
Passo 1
Então, a gente tem um exercício onde precisa calcular uma integral de linha. A integral dada é:
A curva
é definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos usar o método de parametrização para integrar ao longo da curva
.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar
,
e
em termos de
. Como
,
e
são funções de
, vamos derivar cada uma delas em relação a
:
Passo 3
Agora, substituímos
,
,
,
,
e
na integral original:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo dentro da integral:
Substituindo de volta na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar termo por termo:
Para o segundo termo, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral fica:
Passo 6
Juntando tudo, a integral se torna:
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
-cos(pi4) - sin^3(pi4)3 + pi4 :
Sabemos que:
Então:
Para
-raiz22 - (-raiz22)^33 - pi4 = -raiz22 - -raiz212 - pi4 :
Como
e
:
Passo 7
Subtraindo o valor em
(-raiz22 - raiz212 + pi4) - (-raiz22 + raiz212 - pi4) do valor em
-raiz22 - raiz212 + pi4 + raiz22 - raiz212 + pi4 = -2raiz212 + 2pi4 :
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
Resposta
A integral de linha é igual a
.