Obtenha a parte real e a parte imaginária de: w = z^2 / (z - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a parte real e a parte imaginária da expressão . Aqui estamos trabalhando com números complexos, então vamos usar um pouco de álgebra envolvendo números imaginários para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o número complexo de uma forma mais amigável. Vamos dizer que , onde é a parte real e é a parte imaginária de , e é a unidade imaginária ( ).

Passo 3

Agora, vamos calcular . Usando a definição de :
Lembrando que :
Então, .

Passo 4

Em seguida, vamos calcular :
Então, .

Passo 5

Agora, queremos dividir por :
Para simplificar essa divisão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de é .

Passo 6

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, o numerador:
Simplificando termo a termo:
Lembrando que :
Agrupando as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:

Passo 7

Agora, vamos dividir a parte real e a parte imaginária pelo denominador que já calculamos:
á

Resposta

Então, a parte real de é:
E a parte imaginária de é:

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