Obtenha a parte real e a parte imaginária de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a parte real e a parte imaginária da expressão
. Aqui estamos trabalhando com números complexos, então vamos usar um pouco de álgebra envolvendo números imaginários para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o número complexo
de uma forma mais amigável. Vamos dizer que
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
, e
é a unidade imaginária (
).
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Usando a definição de
:
Lembrando que
:
Então,
.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
:
Então,
.
Passo 5
Agora, queremos dividir
por
:
Para simplificar essa divisão, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de
é
.
Passo 6
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, o numerador:
Simplificando termo a termo:
Lembrando que
:
Agrupando as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Passo 7
Agora, vamos dividir a parte real e a parte imaginária pelo denominador que já calculamos:
Resposta
Então, a parte real de
é:
E a parte imaginária de
é: