Seja
o retângulo, em
, com vértices
e
, com orientação anti-horária. Calcule:
a)
a)
Passo 1
Beleza, temos um exercício que pede para calcular uma integral de linha ao longo de um retângulo
com vértices em
,
,
e
. A integral que vamos resolver é:
Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região limitada por esse caminho.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções
e
na integral dada. Aqui:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região dentro do retângulo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Nossa integral dupla fica então:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região
.
Passo 5
O retângulo
tem vértices em
,
,
e
. Então, os limites para
vão de
a
e para
de
a
.
Passo 6
Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a
:
Calculando os valores:
Simplificando:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando os valores:
Para :
Para
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Considere
uma parte da hélice em
representada por
,
. Calcule:
a)
a)
Calcule a integral de linha para cada campo vetorial
e curva
parametrizada por
:
(a)
(a)
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
c)
c)
Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
b)
b)