Seja C o retângulo, em R^2, com vértices (-1,1),(2,1),(2,3) e (-1,3), com orientação anti-horária. Calcule:
a) integralC x^2 y d x+x(3 y+x) d y

Passo 1

Beleza, temos um exercício que pede para calcular uma integral de linha ao longo de um retângulo integralC x^2 y , dx + x(3 y + x) , dy com vértices em , , e . A integral que vamos resolver é:
Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região limitada por esse caminho.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções P(x, y) = x^2 y e Q(x, y) = x(3 y + x) e ointC P , dx + Q , dy = integral duplaR ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA na integral dada. Aqui:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região dentro do retângulo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x [x(3y + x)] = 3y + 2x
partial Ppartial y = partialpartial y [x^2 y] = x^2
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (3y + 2x) - x^2

Passo 4

Nossa integral dupla fica então:
integral duplaR (3y + 2x - x^2) , dA
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região .

Passo 5

O retângulo tem vértices em , , e . Então, os limites para vão de a e para de a .

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla:
integralx=-1^2 integraly=1^3 (3y + 2x - x^2) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral1^3 (3y + 2x - x^2) , dy = [ 32 y^2 + 2x y - x^2 y ]1^3 :
( 32(9) + 2x(3) - x^2(3) ) - ( 32(1) + 2x(1) - x^2(1) ) = ( 272 + 6x - 3x^2 ) - ( 32 + 2x - x^2 )
Calculando os valores:
242 + 4x - 2x^2 = 12 + 4x - 2x^2
Simplificando:
integral-1^2 (12 + 4x - 2x^2) , dx = [ 12x + 2x^2 - 23x^3 ]-1^2
Agora, integramos em relação a 12(2) + 2(4) - 23(8) = 24 + 8 - 163 = 32 - 163 = 96 - 163 = 803 :
12(-1) + 2(1) - 23(-1) = -12 + 2 + 23 = -10 + 23 = -303 + 23 = -283
Calculando os valores:
Para 803 - ( -283 ) = 803 + 283 = 1083 = 36 :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral é .

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