Seja o retângulo, em , com vértices e , com orientação anti-horária. Calcule:
a)

Passo 1

Beleza, temos um exercício que pede para calcular uma integral de linha ao longo de um retângulo com vértices em , , e . A integral que vamos resolver é:
Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região limitada por esse caminho.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções e na integral dada. Aqui:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região dentro do retângulo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:

Passo 4

Nossa integral dupla fica então:
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região .

Passo 5

O retângulo tem vértices em , , e . Então, os limites para vão de a e para de a .

Passo 6

Vamos calcular a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a :
Calculando os valores:
Simplificando:
Agora, integramos em relação a :
Calculando os valores:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Considere uma parte da hélice em representada por , . Calcule:
a)
Calcule a integral de linha para cada campo vetorial e curva parametrizada por :
(a)
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
c)
Determine o rotacional e o divergente do campo indicado:
b)