Considere C uma parte da hélice em R^3 representada por r(t)=(cos 2 t, sen 2 t, t), 0 <= t <= 2 pi. Calcule:
a) integralC 3 x d x+4 y d y+z d z

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma parte de uma hélice integralC 3x , dx + 4y , dy + z , dz no espaço tridimensional, representada pela função onde varia de a . A tarefa é calcular a integral de linha:
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , encontrar as derivadas das componentes , e em relação a , e então substituir tudo na integral para calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva x(t) = cos 2t :
y(t) = sin 2t
z(t) = t
Essas funções descrevem como cada coordenada , e varia com o parâmetro ao longo da hélice.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a dxdt = ddt (cos 2t) = -2 sin 2t , que serão usadas para substituir dydt = ddt (sin 2t) = 2 cos 2t , dzdt = ddt (t) = 1 e na integral:
Essas derivadas nos dão as taxas de variação das coordenadas ao longo da curva.

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original utilizando as funções parametrizadas e suas derivadas:
integralC 3x , dx + 4y , dy + z , dz = integral0^2pi [ 3x(t) cdot dxdt + 4y(t) cdot dydt + z(t) cdot dzdt ] dt
Substituindo as expressões:
= integral0^2pi [ 3cos 2t cdot (-2sin 2t) + 4sin 2t cdot 2cos 2t + t cdot 1 ] dt
Simplificando os termos:
= integral0^2pi [ -6cos 2t sin 2t + 8sin 2t cos 2t + t ] dt
= integral0^2pi [ 2cos 2t sin 2t + t ] dt

Passo 5

Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeiro, a parte com 2integral0^2pi cos 2t sin 2t , dt :
2 cdot 12 integral0^2pi sin 4t , dt = integral0^2pi sin 4t , dt = 0
Sabemos que integral0^2pi t , dt = [ 12 t^2 ]0^2pi = 12 (2pi)^2 - 12 (0)^2 = 2pi^2 , então:
Isso porque a integral de uma função senoidal completa ao longo de um período inteiro é zero.
Agora, a parte com :

Resposta

A integral calculada é igual a .

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