Considere uma parte da hélice em representada por , . Calcule:
a)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma parte de uma hélice no espaço tridimensional, representada pela função onde varia de a . A tarefa é calcular a integral de linha:
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva , encontrar as derivadas das componentes , e em relação a , e então substituir tudo na integral para calcular o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da curva :
Essas funções descrevem como cada coordenada , e varia com o parâmetro ao longo da hélice.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a , que serão usadas para substituir , e na integral:
Essas derivadas nos dão as taxas de variação das coordenadas ao longo da curva.

Passo 4

Vamos substituir tudo na integral original utilizando as funções parametrizadas e suas derivadas:
Substituindo as expressões:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeiro, a parte com :
Sabemos que , então:
Isso porque a integral de uma função senoidal completa ao longo de um período inteiro é zero.
Agora, a parte com :

Resposta

A integral calculada é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha para cada campo vetorial e curva parametrizada por :
(a)
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
b)
Seja o retângulo, em , com vértices e , com orientação anti-horária. Calcule:
a)
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
c)