Considere
uma parte da hélice em
representada por
,
. Calcule:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma parte de uma hélice
no espaço tridimensional, representada pela função
onde
varia de
a
. A tarefa é calcular a integral de linha:
Aqui, estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva
, encontrar as derivadas das componentes
,
e
em relação a
, e então substituir tudo na integral para calcular o valor final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da curva
:
Essas funções descrevem como cada coordenada
,
e
varia com o parâmetro
ao longo da hélice.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a
, que serão usadas para substituir
,
e
na integral:
Essas derivadas nos dão as taxas de variação das coordenadas ao longo da curva.
Passo 4
Vamos substituir tudo na integral original utilizando as funções parametrizadas e suas derivadas:
Substituindo as expressões:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos calcular cada parte da integral separadamente.
Primeiro, a parte com
:
Sabemos que
, então:
Isso porque a integral de uma função senoidal completa ao longo de um período inteiro é zero.
Agora, a parte com
:
Resposta
A integral calculada é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha para cada campo vetorial
e curva
parametrizada por
:
(a)
(a)
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
b)
b)
Seja
o retângulo, em
, com vértices
e
, com orientação anti-horária. Calcule:
a)
a)
Faça o gráfico de alguns vetores representativos do campo vetorial indicado:
c)
c)