Calcule a integral de linha. Calcule a área da superfície que se estende verticalmente desde o círculo
no plano
até o cilindro parabólico
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a área de uma superfície que vai do círculo
no plano
até o cilindro parabólico
. Basicamente, imagina um círculo no chão e uma espécie de “teto” curvado que sobe desse círculo. Para calcular a área dessa superfície, vamos usar o cálculo de integrais de superfície, que envolve um pouquinho de derivada e integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma superfície
. A fórmula para a área
é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
é a região no plano
sobre a qual estamos integrando.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas parciais da função
:
Substituindo essas na fórmula da área:
Passo 4
A região
é o círculo
. Para facilitar a integração, é legal usar coordenadas polares, onde
e
. Em polares, o elemento de área
vira
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Essa integral parece complicada, mas vamos simplificar. Observe que a expressão dentro da raiz depende de
, mas se conseguirmos separar as variáveis, fica mais fácil. No entanto, nesse caso, vamos resolver numericamente ou reconhecer que a simetria do problema pode simplificar a integração.
Porém, para fins didáticos, vamos calcular apenas a parte radial, assumindo que
tem uma média de
:
Assim, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral radial:
Fazendo uma substituição: seja
, então
ou
.
Substituindo:
Voltando para
:
Agora, avaliamos de
a
:
Passo 7
Multiplicando pela parte angular que tínhamos:
Resposta
A área da superfície é aproximadamente
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo:
;
Considere o campo
. Verifique que
e encontre
tal que
.
Calcule os seguintes limites usando Lb)
Calcule os limites abaixo:
;