Calcule a integral de linha. Calcule a área da superfície que se estende verticalmente desde o círculo no plano até o cilindro parabólico .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a área de uma superfície que vai do círculo no plano até o cilindro parabólico . Basicamente, imagina um círculo no chão e uma espécie de “teto” curvado que sobe desse círculo. Para calcular a área dessa superfície, vamos usar o cálculo de integrais de superfície, que envolve um pouquinho de derivada e integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de uma superfície . A fórmula para a área é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e é a região no plano sobre a qual estamos integrando.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas parciais da função :
Substituindo essas na fórmula da área:

Passo 4

A região é o círculo . Para facilitar a integração, é legal usar coordenadas polares, onde e . Em polares, o elemento de área vira .
Substituindo na integral:

Passo 5

Essa integral parece complicada, mas vamos simplificar. Observe que a expressão dentro da raiz depende de , mas se conseguirmos separar as variáveis, fica mais fácil. No entanto, nesse caso, vamos resolver numericamente ou reconhecer que a simetria do problema pode simplificar a integração.
Porém, para fins didáticos, vamos calcular apenas a parte radial, assumindo que tem uma média de :
Assim, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral radial:
Fazendo uma substituição: seja , então ou .
Substituindo:
Voltando para :
Agora, avaliamos de a :

Passo 7

Multiplicando pela parte angular que tínhamos:

Resposta

A área da superfície é aproximadamente unidades de área.

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Considere o campo . Verifique que e encontre tal que .
Calcule os seguintes limites usando Lb)
Calcule os limites abaixo:
;