Calcule os limites abaixo: lim x 1 (3-x^3)^4-16x^3-1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado nos pede para calcular o limite quando limx 1 (3 - x^3)^4 - 16x^3 - 1 se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções próximas a certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se podemos simplificar a expressão ou aplicar alguma regra específica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (3 - 1^3)^4 - 161^3 - 1 = (3 - 1)^4 - 161 - 1 = 2^4 - 160 = 16 - 160 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
O resultado deu , que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir nada diretamente e precisamos usar outra técnica para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como ddx[(3 - x^3)^4] = 4(3 - x^3)^3 cdot (-3x^2) = -12x^2(3 - x^3)^3 , uma ferramenta poderosa que podemos usar é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que se o limite de ddx[x^3 - 1] = 3x^2 resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
  • Numerador:
Aplicando a regra da cadeia para derivar:
  • Denominador:
A derivada é:

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, substituímos as derivadas no lugar do numerador e denominador originais:
limx 1 -12x^2(3 - x^3)^33x^2
Podemos simplificar essa expressão cancelando limx 1 -12(3 - x^3)^33 = limx 1 -4(3 - x^3)^3 no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, com a expressão simplificada, substituímos -4(3 - 1^3)^3 = -4(3 - 1)^3 = -4(2)^3 = -4 times 8 = -32 diretamente:

Resposta

O limite é igual a .

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