Calcule os limites abaixo: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado nos pede para calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções próximas a certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se podemos simplificar a expressão ou aplicar alguma regra específica.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
O resultado deu , que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir nada diretamente e precisamos usar outra técnica para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como , uma ferramenta poderosa que podemos usar é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que se o limite de resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
  • Numerador:
Aplicando a regra da cadeia para derivar:
  • Denominador:
A derivada é:

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, substituímos as derivadas no lugar do numerador e denominador originais:
Podemos simplificar essa expressão cancelando no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, com a expressão simplificada, substituímos diretamente:

Resposta

O limite é igual a .

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