Calcule os limites abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado nos pede para calcular o limite quando
se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções próximas a certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar verificar se podemos simplificar a expressão ou aplicar alguma regra específica.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver o que acontece:
O resultado deu
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir nada diretamente e precisamos usar outra técnica para encontrar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, uma ferramenta poderosa que podemos usar é a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que se o limite de
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Então, vamos derivar o numerador e o denominador da nossa expressão:
- Numerador:
Aplicando a regra da cadeia para derivar:
- Denominador:
A derivada é:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital, substituímos as derivadas no lugar do numerador e denominador originais:
Podemos simplificar essa expressão cancelando
no numerador e denominador:
Passo 5
Agora, com a expressão simplificada, substituímos
diretamente:
Resposta
O limite é igual a
.
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Considere o campo
. Verifique que
e encontre
tal que
.
Se
e
são campos vetoriais, prove
. A partir dai deduza que
.
Calcule a integral de linha. Calcule a área da superfície que se estende verticalmente desde o círculo
no plano
até o cilindro parabólico
.
Calcule os seguintes limites usando Lb)