Calcule a integral de linha do campo , ao longo da elipse , percorrida uma vez no sentido anti-horário. (Calcular a integral de linha pela definição; não pode usar o teorema de Green.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de uma elipse definida por , percorrida uma vez no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar a definição de integral de linha, sem recorrer ao Teorema de Green. Isso vai envolver parametrizar a elipse e calcular a integral usando a fórmula direta.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a elipse. Uma forma comum de parametrizar uma elipse é usando ângulos trigonométricos. Podemos definir:
onde varia de a para percorrer a elipse uma vez no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :
Essas derivadas representam os componentes do vetor , que é usado na integral de linha.

Passo 4

A integral de linha da função vetorial ao longo da curva parametrizada é dada por:
Onde .

Passo 5

Vamos substituir e na expressão de :
E .

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 7

Expandindo os produtos:

Passo 8

Agora, vamos simplificar os termos:

Passo 9

Percebemos que algumas dessas funções são integrais sobre um período completo de a . Sabemos que a integral de e a integral de sobre a são ambas zero, porque são funções ímpares ou se anulam ao longo do ciclo completo.

Passo 10

Portanto, integrando ao longo de a :

Resposta

A integral de linha do campo dado ao longo da elipse é igual a zero.

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