Calcule a integral de linha do campo
, ao longo da elipse
, percorrida uma vez no sentido anti-horário. (Calcular a integral de linha pela definição; não pode usar o teorema de Green.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo de uma elipse definida por
, percorrida uma vez no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar a definição de integral de linha, sem recorrer ao Teorema de Green. Isso vai envolver parametrizar a elipse e calcular a integral usando a fórmula direta.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a elipse. Uma forma comum de parametrizar uma elipse é usando ângulos trigonométricos. Podemos definir:
onde
varia de
a
para percorrer a elipse uma vez no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas representam os componentes do vetor
, que é usado na integral de linha.
Passo 4
A integral de linha da função vetorial
ao longo da curva parametrizada é dada por:
Onde
.
Passo 5
Vamos substituir
e
na expressão de
:
E
.
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 7
Expandindo os produtos:
Passo 8
Agora, vamos simplificar os termos:
Passo 9
Percebemos que algumas dessas funções são integrais sobre um período completo de
a
. Sabemos que a integral de
e a integral de
sobre
a
são ambas zero, porque são funções ímpares ou se anulam ao longo do ciclo completo.
Passo 10
Portanto, integrando ao longo de
a
:
Resposta
A integral de linha do campo dado ao longo da elipse é igual a zero.
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.
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