Um filtro na forma de um cone circular reto tem altura igual a 10 cm e raio da base igual a 5 cm . Suponha que uma certa quantidade de água seja colocada nesse filtro e que ela escoe para um recipiente na forma de um cilindro circular reto de mesmo raio e altura que o filtro, conforme ilustra a figura abaixo. Indique por x a altura da água no filtro e por y a altura da água no recipiente.
(b) Sabendo que o volume de um cone circular reto de raio r e altura x é igual a (1 / 3) pi r^2 x, determine o volume V1(x) da água no filtro como função de x.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um filtro que é um cone com altura de 10 cm e raio da base de 5 cm. Quando colocamos água nesse filtro, a água começa a descer para um recipiente que é um cilindro com o mesmo raio e altura do filtro. Queremos descobrir qual é o volume da água no filtro em função da altura da água, que vamos chamar de x. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um cone: . Vamos precisar entender como o raio da água no filtro muda conforme a altura x muda.

Passo 2

Primeiro, precisamos relacionar o raio da água no filtro com a altura x. Sabemos que o filtro é um cone com altura total de 10 cm e raio de base de 5 cm. Isso significa que, se a água está a uma altura x, o raio correspondente da superfície da água, que vamos chamar de r(x), também muda. Como o cone é “reto” e mantém a proporção, podemos usar uma regra de três simples:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora que sabemos que o raio da água no filtro é , podemos substituir esse valor na f��rmula do volume do cone para encontrar V1(x):
Vamos calcular isso passo a passo:
Então:

Resposta

O volume da água no filtro em função de x é:

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