Um filtro na forma de um cone circular reto tem altura igual a 10 cm e raio da base igual a 5 cm . Suponha que uma certa quantidade de água seja colocada nesse filtro e que ela escoe para um recipiente na forma de um cilindro circular reto de mesmo raio e altura que o filtro, conforme ilustra a figura abaixo. Indique por
a altura da água no filtro e por
a altura da água no recipiente.
(b) Sabendo que o volume de um cone circular reto de raio
e altura
é igual a
, determine o volume
da água no filtro como função de
.
(b) Sabendo que o volume de um cone circular reto de raio
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um filtro que é um cone com altura de 10 cm e raio da base de 5 cm. Quando colocamos água nesse filtro, a água começa a descer para um recipiente que é um cilindro com o mesmo raio e altura do filtro. Queremos descobrir qual é o volume da água no filtro em função da altura da água, que vamos chamar de
. Para isso, vamos usar a fórmula do volume de um cone:
. Vamos precisar entender como o raio da água no filtro muda conforme a altura
muda.
Passo 2
Primeiro, precisamos relacionar o raio da água no filtro com a altura
. Sabemos que o filtro é um cone com altura total de 10 cm e raio de base de 5 cm. Isso significa que, se a água está a uma altura
, o raio correspondente da superfície da água, que vamos chamar de
, também muda. Como o cone é “reto” e mantém a proporção, podemos usar uma regra de três simples:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora que sabemos que o raio da água no filtro é
, podemos substituir esse valor na f��rmula do volume do cone para encontrar
:
Vamos calcular isso passo a passo:
Então:
Resposta
O volume da água no filtro em função de
é:
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, ao longo da elipse
, percorrida uma vez no sentido anti-horário. (Calcular a integral de linha pela definição; não pode usar o teorema de Green.)
Considere a integral dupla
onde
. Faça um esboço da região de integração e calcule a integral.