Considere a integral dupla
onde . Faça um esboço da região de integração e calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é , onde a região é definida por . Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais duplas e a compreensão da região de integração. Vamos precisar entender como descrever essa região para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região . A inequação descreve um losango (ou diamante) no plano com vértices em , , e . Isso porque a soma dos valores absolutos de e forma as linhas que delimitam essa área.

Passo 3

Agora, para calcular a integral, vamos mudar para coordenadas adequadas. Observando a simetria da região, podemos integrar em termos de e diretamente. A região pode ser dividida em quatro partes, mas podemos simplificar considerando os limites de integração.
Para cada entre e , varia de até . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a :
Calculando os limites:
Agora, simplificamos a integral em :
Notando que para , , e para , , podemos dividir a integral em duas partes:
Para :
Para :
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:
Somando as duas partes:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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Calcule a integral de linha do campo , ao longo da elipse , percorrida uma vez no sentido anti-horário. (Calcular a integral de linha pela definição; não pode usar o teorema de Green.)
Um filtro na forma de um cone circular reto tem altura igual a 10 cm e raio da base igual a 5 cm . Suponha que uma certa quantidade de água seja colocada nesse filtro e que ela escoe para um recipiente na forma de um cilindro circular reto de mesmo raio e altura que o filtro, conforme ilustra a figura abaixo. Indique por a altura da água no filtro e por a altura da água no recipiente.
(b) Sabendo que o volume de um cone circular reto de raio e altura é igual a , determine o volume da água no filtro como função de .
Uma certa integral dupla reduz-se à uma integral iterada
Determine a região de integração e inverta a ordem de integração.
Seja . Seja uma função continuamente diferenciável. Seja o campo vetorial definido em por
Acima, . Ache um potencial para (se possível) em .