Considere a integral dupla
integral duplaS e^x-y d x d y
onde S=(x, y):|x|+|y| <= 1. Faça um esboço da região de integração e calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é , onde a região é definida por . Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais duplas e a compreensão da região de integração. Vamos precisar entender como descrever essa região para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região . A inequação descreve um losango (ou diamante) no plano com vértices em , , e . Isso porque a soma dos valores absolutos de e forma as linhas que delimitam essa área.

Passo 3

Agora, para calcular a integral, vamos mudar para coordenadas adequadas. Observando a simetria da região, podemos integrar em termos de integral-1^1 integral-1 + |x|^1 - |x| e^x - y , dy , dx e diretamente. A região pode ser dividida em quatro partes, mas podemos simplificar considerando os limites de integração.
Para cada entre e , varia de até . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos integrar primeiro em relação a integral-1 + |x|^1 - |x| e^x - y , dy = e^x integral-1 + |x|^1 - |x| e^-y , dy = e^x [ -e^-y ]-1 + |x|^1 - |x| :
e^x ( -e^-(1 - |x|) + e^-(-1 + |x|) ) = e^x ( -e^-1 + |x| + e^1 - |x| )
Calculando os limites:
integral-1^1 e^x ( e^1 - |x| - e^-1 + |x| ) , dx = integral-1^1 ( e^1 + x - |x| - e^-1 + x + |x| ) , dx
Agora, simplificamos a integral em e^1 + x - x - e^-1 + x + x = e^1 - e^-1 + 2x :
e^1 + x + x - e^-1 + x - x = e^1 + 2x - e^-1
Notando que para integral-1^0 ( e^1 + 2x - e^-1 ) , dx + integral0^1 ( e^1 - e^-1 + 2x ) , dx , integral-1^0 e^1 + 2x , dx - e^-1 integral-1^0 dx = e^1 + 2x2 |-1^0 - e^-1 (0 - (-1)) = e^1 - e^-12 - e^-1 , e para e^1 integral0^1 dx - integral0^1 e^-1 + 2x , dx = e^1 (1 - 0) - e^-1 + 2x2 |0^1 = e - e^1 - e^-12 , ( e - e^-12 - e^-1 ) + ( e - e - e^-12 ) = e2 - e^-12 - e^-1 + e - e2 + e^-12 = e - e^-1 , podemos dividir a integral em duas partes:
Para :
Para :
Então, a integral fica:
Calculando cada parte:
Primeira parte:
Segunda parte:
Somando as duas partes:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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