onde . Faça um esboço da região de integração e calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é , onde a região é definida por . Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais duplas e a compreensão da região de integração. Vamos precisar entender como descrever essa região para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região . A inequação descreve um losango (ou diamante) no plano com vértices em , , e . Isso porque a soma dos valores absolutos de e forma as linhas que delimitam essa área.
Passo 3
Agora, para calcular a integral, vamos mudar para coordenadas adequadas. Observando a simetria da região, podemos integrar em termos de e diretamente. A região pode ser dividida em quatro partes, mas podemos simplificar considerando os limites de integração.
Para cada entre e , varia de até . Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar primeiro em relação a :
Calculando os limites:
Agora, simplificamos a integral em :
Notando que para , , e para , , podemos dividir a integral em duas partes: