Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolve equações diferenciais e redução de ordem. Para resolver, vamos precisar transformar a equação original em uma de primeira ordem usando substituições apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir (onde é a derivada de em relação a ). Assim, .
Substituindo na equação original:

Passo 3

Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de e :
Podemos reescrever isso isolando :

Passo 4

Observe que essa equação é diferencial e separável, o que significa que podemos separar as variáveis e :

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais conhecidas são:

Passo 6

Substituindo os resultados das integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Podemos simplificar usando a fórmula da tangente da diferença:
Aplicando isso:
Vamos chamar , onde é uma nova constante.
Portanto:

Passo 8

Agora, temos uma equação para :
Para encontrar , precisamos integrar em relação a :
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Vamos resolver a integral. Podemos dividir o numerador:
Então, a integral se torna:

Passo 10

Resolvendo a primeira integral:
Para a segunda integral, fazemos substituição , então , e :

Passo 11

Substituindo de volta:
Simplificando e combinando constantes, obtemos a solução geral:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes de integração.

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