Resolver equações diferenciais que permitem redução de ordem
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolve equações diferenciais e redução de ordem. Para resolver, vamos precisar transformar a equação original em uma de primeira ordem usando substituições apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir
(onde
é a derivada de
em relação a
). Assim,
.
Substituindo na equação original:
Passo 3
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem em termos de
e
:
Podemos reescrever isso isolando
:
Passo 4
Observe que essa equação é diferencial e separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação:
As integrais conhecidas são:
Passo 6
Substituindo os resultados das integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Podemos simplificar usando a fórmula da tangente da diferença:
Aplicando isso:
Vamos chamar
, onde
é uma nova constante.
Portanto:
Passo 8
Agora, temos uma equação para
:
Para encontrar
, precisamos integrar
em relação a
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Vamos resolver a integral. Podemos dividir o numerador:
Então, a integral se torna:
Passo 10
Resolvendo a primeira integral:
Para a segunda integral, fazemos substituição
, então
, e
:
Passo 11
Substituindo de volta:
Simplificando e combinando constantes, obtemos a solução geral:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes de integração.