Uma certa integral dupla
reduz-se à uma integral iterada
Determine a região de integração e inverta a ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla que está escrita como uma integral iterada. Nosso objetivo é entender qual é a região de integração
e depois inverter a ordem de integração. Ou seja, em vez de integrar primeiro em relação a
e depois em
, vamos fazer o contrário. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração que a gente tem e como eles definem a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral que a gente tem:
Aqui,
varia de 1 a 2. Para cada valor fixo de
,
varia de
até
. Então, a região
é o conjunto de pontos
que satisfazem:
Passo 3
Agora, vamos entender melhor essa região
. Para isso, vamos interpretar as funções que definem os limites de
:
-
Linha
: Essa é uma reta que desce com inclinação -1, interceptando o eixo em quando . -
Curva
: Vamos simplificar essa expressão. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: Isso representa um círculo com centro eme raio 1.
Então, a região
está limitada pela reta
e pela parte do círculo
que está acima dessa reta, no intervalo de
de 1 a 2.
Passo 4
Vamos inverter a ordem de integração. Atualmente, estamos integrando primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de 1 a 2. Queremos agora integrar primeiro em
e depois em
.
Para isso, precisamos determinar para cada
, os limites de
. Observando a região
:
-
A reta
pode ser rearranjada para . -
A equação do círculo
resolvida para dá: Como estamos no intervalo dede 1 a 2, usamos .
Agora, vamos determinar os limites de
. A interseção da reta e do círculo ocorre quando:
Resolvendo essa equação, encontramos que
varia de 0 a 1.
Passo 5
Com essas informações, podemos escrever a integral com a ordem invertida:
Resposta
A região de integração
invertida e a ordem de integração trocada ficam assim: