Uma certa integral dupla integral duplaS f reduz-se à uma integral iterada
integral1^2[integral2-x^raiz2 x-x^2 f(x, y) d y] d x
Determine a região de integração e inverta a ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla que está escrita como uma integral iterada. Nosso objetivo é entender qual é a região de integração e depois inverter a ordem de integração. Ou seja, em vez de integrar primeiro em relação a e depois em , vamos fazer o contrário. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração que a gente tem e como eles definem a região .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral que a gente tem:
integral1^2[integral2-x^raiz2x - x^2 f(x, y) , d y] d x
Aqui, 1 <= x <= 2 e 2 - x <= y <= raiz2x - x^2 varia de 1 a 2. Para cada valor fixo de , varia de até . Então, a região é o conjunto de pontos que satisfazem:

Passo 3

Agora, vamos entender melhor essa região y^2 = 2x - x^2 x^2 - 2x + y^2 = 0 (x - 1)^2 + y^2 = 1 . Para isso, vamos interpretar as funções que definem os limites de :
  1. Linha : Essa é uma reta que desce com inclinação -1, interceptando o eixo em quando .
  2. Curva : Vamos simplificar essa expressão. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:
    Isso representa um círculo com centro em e raio 1.
Então, a região está limitada pela reta e pela parte do círculo que está acima dessa reta, no intervalo de de 1 a 2.

Passo 4

Vamos inverter a ordem de integração. Atualmente, estamos integrando primeiro em relação a x = 1 pm raiz1 - y^2 de 2 - x = raiz2x - x^2 a , e depois em relação a de 1 a 2. Queremos agora integrar primeiro em e depois em .
Para isso, precisamos determinar para cada , os limites de . Observando a região :
  • A reta pode ser rearranjada para .
  • A equação do círculo resolvida para dá:
    Como estamos no intervalo de de 1 a 2, usamos .
Agora, vamos determinar os limites de . A interseção da reta e do círculo ocorre quando:
Resolvendo essa equação, encontramos que varia de 0 a 1.

Passo 5

Com essas informações, podemos escrever a integral com a ordem invertida:
integral0^1[integral2 - y^1 + raiz1 - y^2 f(x, y) , d x] d y

Resposta

A região de integração integral0^1[integral2 - y^1 + raiz1 - y^2 f(x, y) , d x] d y invertida e a ordem de integração trocada ficam assim:

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