Calcule a integral de linha do campo singular
é o arco de círculo
seguido pelo arco de hélice
,
e
é o campo vetorial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo do caminho
. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar as curvas que formam
e como avaliar
ao longo dessas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes que compõem o caminho
:
- Arcão de círculo:
para . - Arcão de hélice:
para .
Vamos calcular a integral de linha para cada parte separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Para o primeiro arco de círculo:
A parametrização é
com
.
Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora, avaliamos o campo
na parametrização
:
Simplificando o denominador:
Então,
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Então, a integral para o primeiro arco é:
Passo 4
Para o segundo arco de hélice:
A parametrização é
com
.
Calculamos a derivada de
:
Avaliamos o campo
na parametrização
:
Simplificando o denominador:
Então,
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Note que
e
se cancelam. Além disso,
. Então:
Agora, a integral para o segundo arco é:
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, fazemos uma substituição. Seja
, então
, ou
.
Alterando os limites:
- Quando
, - Quando
,
Então:
Portanto, a integral total para o segundo arco é:
Resposta
A integral de linha do campo vetorial
ao longo do caminho
é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha do campo singular
Aqui consideramos
orientada compativelmente respeito a orientação de
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde:
e
é a interseção do cone
com a semi-esfera
. (orientada em sentido anti-horário para quem olha de cima).
Calcule
onde
e
é dada por:
(b) , com
.
(b)
Calcule
onde
é a curva definida por
como
orientada no sentido decrescente de
.