Calcule a integral de linha do campo singular
é o arco de círculo seguido pelo arco de hélice , e é o campo vetorial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo do caminho . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar as curvas que formam e como avaliar ao longo dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que compõem o caminho :
  1. Arcão de círculo: para .
  2. Arcão de hélice: para .
Vamos calcular a integral de linha para cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Para o primeiro arco de círculo:
A parametrização é com .
Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Agora, avaliamos o campo na parametrização :
Simplificando o denominador:
Então,
Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando:
Então, a integral para o primeiro arco é:

Passo 4

Para o segundo arco de hélice:
A parametrização é com .
Calculamos a derivada de :
Avaliamos o campo na parametrização :
Simplificando o denominador:
Então,
Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando:
Note que e se cancelam. Além disso, . Então:
Agora, a integral para o segundo arco é:
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, fazemos uma substituição. Seja , então , ou .
Alterando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então:
Portanto, a integral total para o segundo arco é:

Resposta

A integral de linha do campo vetorial ao longo do caminho é:

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onde:
e é a interseção do cone com a semi-esfera . (orientada em sentido anti-horário para quem olha de cima).
Calcule onde e é dada por:
(b) , com .
Calcule onde é a curva definida por como orientada no sentido decrescente de .