Calcule a integral de linha do campo singular
integralC F cdot d s
C é o arco de círculo t mapsto(-sen t, 0, cos t), t in[0, pi] seguido pelo arco de hélice t mapsto(sen t, 2 t,-cos t), t in[0, pi] e F é o campo vetorial
F(x, y, z)=(x-zx^2+z^2, y cos y^2, x+zx^2+z^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo do caminho . Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar as curvas que formam e como avaliar ao longo dessas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que compõem o caminho :
  1. Arcão de círculo: para .
  2. Arcão de hélice: para .
Vamos calcular a integral de linha para cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Para o primeiro arco de círculo:
A parametrização é r1'(t) = (-cos t, 0, -sin t) com F(r1(t)) = ( -sin t - cos t(-sin t)^2 + (cos t)^2, 0 cdot cos(0)^2, -sin t + cos t(-sin t)^2 + (cos t)^2 ) .
Primeiro, calculamos a derivada de (-sin t)^2 + (cos t)^2 = sin^2 t + cos^2 t = 1 em relação a F(r1(t)) = (-sin t - cos t, 0, -sin t + cos t) :
(-sin t - cos t)(-cos t) + 0 cdot 0 + (-sin t + cos t)(-sin t)
Agora, avaliamos o campo sin t cos t + cos^2 t + sin^2 t - sin t cos t = cos^2 t + sin^2 t = 1 na parametrização integral0^pi 1, dt = pi :
Simplificando o denominador:
Então,
Agora, calculamos o produto escalar :
Simplificando:
Então, a integral para o primeiro arco é:

Passo 4

Para o segundo arco de hélice:
A parametrização é r2'(t) = (cos t, 2, sin t) com F(r2(t)) = ( sin t - (-cos t)(sin t)^2 + (-cos t)^2, 2t cos( (2t)^2 ), sin t + (-cos t)(sin t)^2 + (-cos t)^2 ) .
Calculamos a derivada de (sin t)^2 + (cos t)^2 = 1 :
F(r2(t)) = (sin t + cos t, 2t cos(4t^2),sin t - cos t)
Avaliamos o campo (sin t + cos t)cos t + 2t cos(4t^2) cdot 2 + (sin t - cos t)sin t na parametrização sin t cos t + cos^2 t + 4t cos(4t^2) + sin^2 t - sin t cos t :
1 + 4t cos(4t^2)
Simplificando o denominador:
integral0^pi (1 + 4t cos(4t^2)) dt = integral0^pi 1, dt + integral0^pi 4t cos(4t^2), dt
Então,
integral0^pi 1, dt = pi
Agora, calculamos o produto escalar integral0^pi 4t cos(4t^2), dt = 48 integral0^4pi^2 cos u, du = 12 [ sin u ]0^4pi^2 = 12 (sin(4pi^2) - sin(0)) = 12 sin(4pi^2) :
pi + 12 sin(4pi^2)
Simplificando:
Note que e se cancelam. Além disso, . Então:
Agora, a integral para o segundo arco é:
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, fazemos uma substituição. Seja , então , ou .
Alterando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então:
Portanto, a integral total para o segundo arco é:

Resposta

A integral de linha do campo vetorial pi + pi + 12 sin(4pi^2) = 2pi + 12 sin(4pi^2) ao longo do caminho é:

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