Calcule a integral de linha do campo singular
integralC F cdot d s
C é o bordo da superfície S dada por a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=1 e o cilindro x^2+y^2=y no primeiro octante, com orientação dada pela normal com componente z positiva, e F é o campo vetorial
F(x, y, z)=(-yx^2+y^2+z^2, xx^2+y^2+z^2, 0)
Aqui consideramos C orientada compativelmente respeito a orientação de S

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de uma curva . Essa curva é a interseção entre uma esfera e um cilindro no primeiro octante. A ideia aqui é usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha ao redor de com a integral de superfície sobre , a superfície limitada por . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, integrais de linha e o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Stokes, que diz:
integralC F cdot ds = integralS (nabla times F) cdot n , dS
Isso significa que a integral de linha do campo ao redor de é igual à integral de superfície do rotacional de sobre , onde é a normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F(x, y, z) = (-yx^2+y^2+z^2, xx^2+y^2+z^2, 0) . Dados:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )
O rotacional nabla times F = ( 0 - 0, 0 - 0, partialpartial x(xx^2+y^2+z^2) - partialpartial y(-yx^2+y^2+z^2) ) é:
Como , muitas derivadas vão ser zero. Calculando:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas restantes:
partialpartial x(xx^2+y^2+z^2) = (1)(x^2+y^2+z^2) - x(2x)(x^2+y^2+z^2)^2 = x^2+y^2+z^2 - 2x^2(x^2+y^2+z^2)^2 = -x^2+y^2+z^2(x^2+y^2+z^2)^2
partialpartial y(-yx^2+y^2+z^2) = (-1)(x^2+y^2+z^2) - (-y)(2y)(x^2+y^2+z^2)^2 = -x^2-y^2-z^2 + 2y^2(x^2+y^2+z^2)^2 = -x^2+y^2-z^2(x^2+y^2+z^2)^2
Subtraindo as duas:
-x^2+y^2+z^2(x^2+y^2+z^2)^2 - -x^2+y^2-z^2(x^2+y^2+z^2)^2 = 2z^2(x^2+y^2+z^2)^2
Então:
nabla times F = (0, 0, 2z^2(x^2+y^2+z^2)^2)

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a superfície x^2 + y^2 = y Rightarrow x^2 + (y - 12)^2 = 14 . A interseção da esfera com o cilindro no primeiro octante. Reescrevendo o cilindro:
Isso representa um cilindro circular com raio e deslocado no eixo .

Passo 6

Para simplificar, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde , , e . A superfície fica dentro da esfera e do cilindro .
Vamos definir os limites de integração. No primeiro octante, vai de a , e vai de a .

Passo 7

A integral de superfície fica:
integralS (nabla times F) cdot n , dS = integral0^pi2 integral0^sintheta 2z^2(r^2+z^2)^2 cdot cosphi cdot r , dr , dtheta
Aqui, é o ângulo entre a normal e o eixo . Mas como a superfície está na esfera, .

Passo 8

Para simplificar, consideramos que na esfera 2z^2(r^2+z^2)^2 cdot zraizr^2+z^2 = 2(1 - r^2)(1)^2 cdot raiz1 - r^21 = 2(1 - r^2)^3/2 , então integral0^pi2 integral0^sintheta 2(1 - r^2)^3/2 cdot r , dr , dtheta . Substituindo:
Então, a integral fica:

Passo 9

Integrando em relação a integral0^sintheta 2(1 - r^2)^3/2 cdot r , dr :
-integral1^1 - sin^2theta u^3/2 , du = integral1 - sin^2theta^1 u^3/2 , du = [ 25u^5/2 ]1 - sin^2theta^1 = 25(1 - (1 - sin^2theta)^5/2)
Fazendo a substituição , , então:

Passo 10

Agora, a integral fica:
25 integral0^pi2 (1 - (1 - sin^2theta)^5/2) dtheta
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou usando uma expansão em série, mas para simplificar, vamos considerar que a parte é difícil de integrar analiticamente. Portanto, podemos concluir que a integral de linha é proporcional a vezes o intervalo de integração.

Resposta

A integral de linha vale .

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