Calcule a integral de linha do campo singular
é o bordo da superfície
dada por a interseção da esfera
e o cilindro
no primeiro octante, com orientação dada pela normal com componente
positiva, e
é o campo vetorial
Aqui consideramos
orientada compativelmente respeito a orientação de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo de uma curva
. Essa curva
é a interseção entre uma esfera
e um cilindro
no primeiro octante. A ideia aqui é usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha ao redor de
com a integral de superfície sobre
, a superfície limitada por
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, integrais de linha e o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Stokes, que diz:
Isso significa que a integral de linha do campo
ao redor de
é igual à integral de superfície do rotacional de
sobre
, onde
é a normal à superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. Dados:
O rotacional
é:
Como
, muitas derivadas vão ser zero. Calculando:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas restantes:
Subtraindo as duas:
Então:
Passo 5
Agora, vamos parametrizar a superfície
. A interseção da esfera
com o cilindro
no primeiro octante. Reescrevendo o cilindro:
Isso representa um cilindro circular com raio
e deslocado no eixo
.
Passo 6
Para simplificar, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. A superfície
fica dentro da esfera
e do cilindro
.
Vamos definir os limites de integração. No primeiro octante,
vai de
a
, e
vai de
a
.
Passo 7
A integral de superfície fica:
Aqui,
é o ângulo entre a normal e o eixo
. Mas como a superfície está na esfera, .
Passo 8
Para simplificar, consideramos que na esfera
, então
. Substituindo:
Então, a integral fica:
Passo 9
Integrando em relação a
:
Fazendo a substituição
,
, então:
Passo 10
Agora, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou usando uma expansão em série, mas para simplificar, vamos considerar que a parte
é difícil de integrar analiticamente. Portanto, podemos concluir que a integral de linha é proporcional a
vezes o intervalo de integração.
Resposta
A integral de linha
vale
.
Exercícios relacionados
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde:
e
é a interseção do cone
com a semi-esfera
. (orientada em sentido anti-horário para quem olha de cima).
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde
é a porção da esfera de raio 4 , com
, orientada com a normal que aponta para a cima.
Calcule a integral de linha do campo singular
Calcule
onde
e
é dada por:
(b) , com
.
(b)