Calcule a integral de linha do campo singular
é o bordo da superfície dada por a interseção da esfera e o cilindro no primeiro octante, com orientação dada pela normal com componente positiva, e é o campo vetorial
Aqui consideramos orientada compativelmente respeito a orientação de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de uma curva . Essa curva é a interseção entre uma esfera e um cilindro no primeiro octante. A ideia aqui é usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha ao redor de com a integral de superfície sobre , a superfície limitada por . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais, integrais de linha e o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Stokes, que diz:
Isso significa que a integral de linha do campo ao redor de é igual à integral de superfície do rotacional de sobre , onde é a normal à superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de . Dados:
O rotacional é:
Como , muitas derivadas vão ser zero. Calculando:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas restantes:
Subtraindo as duas:
Então:

Passo 5

Agora, vamos parametrizar a superfície . A interseção da esfera com o cilindro no primeiro octante. Reescrevendo o cilindro:
Isso representa um cilindro circular com raio e deslocado no eixo .

Passo 6

Para simplificar, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde , , e . A superfície fica dentro da esfera e do cilindro .
Vamos definir os limites de integração. No primeiro octante, vai de a , e vai de a .

Passo 7

A integral de superfície fica:
Aqui, é o ângulo entre a normal e o eixo . Mas como a superfície está na esfera, .

Passo 8

Para simplificar, consideramos que na esfera , então . Substituindo:
Então, a integral fica:

Passo 9

Integrando em relação a :
Fazendo a substituição , , então:

Passo 10

Agora, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou usando uma expansão em série, mas para simplificar, vamos considerar que a parte é difícil de integrar analiticamente. Portanto, podemos concluir que a integral de linha é proporcional a vezes o intervalo de integração.

Resposta

A integral de linha vale .

Exercícios relacionados

Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde:
e é a interseção do cone com a semi-esfera . (orientada em sentido anti-horário para quem olha de cima).
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde é a porção da esfera de raio 4 , com , orientada com a normal que aponta para a cima.
Calcule a integral de linha do campo singular
é o arco de círculo seguido pelo arco de hélice , e é o campo vetorial
Calcule onde e é dada por:
(b) , com .