Calcule onde e é dada por:
(b) , com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é um campo vetorial complicado, e é uma curva parametrizada por no intervalo .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo, pois isso simplifica bastante a nossa vida na hora de calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos depende apenas desses pontos, não do caminho seguido. E, mais ainda, se a curva é fechada (começa e termina no mesmo ponto), a integral será zero.

Passo 3

Vamos verificar se é conservativo calculando o rotacional de , ou seja, . Se o rotacional for zero em todo o domínio, então é conservativo.
Dado:
Calculando o rotacional :
Após calcular as derivadas parciais, verificamos que todas as componentes do rotacional são zero. Portanto, é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, podemos usar a propriedade de que a integral de linha em um campo conservativo sobre uma curva fechada é zero. Vamos verificar se a curva é fechada.
A curva é dada por:
Vamos avaliar e :
Como , a curva é fechada.

Passo 5

Com sendo conservativo e sendo uma curva fechada, aplicamos a propriedade mencionada:

Resposta

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