Calcule integralC F cdot d r onde F(x, y, z)=(e^x z(x y z^2+y z), x z e^x z, e^x z(x^2 y z+x y)) e C é dada por:
(b) varphi(t)=(ln (t^2-t+1), sen(t^3+3 t^2-4 t), cosh (t^5-t)-1(t^2+t+1)^4 / 7), com t in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é um campo vetorial complicado, e é uma curva parametrizada por no intervalo .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo, pois isso simplifica bastante a nossa vida na hora de calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos depende apenas desses pontos, não do caminho seguido. E, mais ainda, se a curva é fechada (começa e termina no mesmo ponto), a integral será zero.

Passo 3

Vamos verificar se F(x, y, z) = (e^x z(x y z^2 + y z), x z e^x z, e^x z(x^2 y z + x y)) é conservativo calculando o rotacional de nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y ) , ou seja, . Se o rotacional for zero em todo o domínio, então é conservativo.
Dado:
Calculando o rotacional :
Após calcular as derivadas parciais, verificamos que todas as componentes do rotacional são zero. Portanto, é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que varphi(t) = (ln (t^2-t+1), sin(t^3+3 t^2-4 t), cosh (t^5-t)-1(t^2+t+1)^4 / 7), t in [0,1] é conservativo, podemos usar a propriedade de que a integral de linha em um campo conservativo sobre uma curva fechada é zero. Vamos verificar se a curva varphi(0) = (ln(1), sin(0), cosh(0)-11^4/7) = (0, 0, 0) é fechada.
A curva varphi(1) = (ln(1), sin(0), cosh(0)-13^4/7) = (0, 0, 0) é dada por:
Vamos avaliar e :
Como , a curva é fechada.

Passo 5

Com integralC F cdot dr = 0 sendo conservativo e sendo uma curva fechada, aplicamos a propriedade mencionada:

Resposta

integralC F cdot dr = 0

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