Calcule
onde
e
é dada por:
(b)
, com
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é um campo vetorial complicado, e
é uma curva parametrizada por
no intervalo
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e campos conservativos. Vamos precisar verificar se o campo
é conservativo, pois isso simplifica bastante a nossa vida na hora de calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos depende apenas desses pontos, não do caminho seguido. E, mais ainda, se a curva
é fechada (começa e termina no mesmo ponto), a integral
será zero.
Passo 3
Vamos verificar se
é conservativo calculando o rotacional de
, ou seja,
. Se o rotacional for zero em todo o domínio, então
é conservativo.
Dado:
Calculando o rotacional
:
Após calcular as derivadas parciais, verificamos que todas as componentes do rotacional são zero. Portanto,
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos usar a propriedade de que a integral de linha em um campo conservativo sobre uma curva fechada é zero. Vamos verificar se a curva
é fechada.
A curva
é dada por:
Vamos avaliar
e
:
Como
, a curva
é fechada.
Passo 5
Com
sendo conservativo e
sendo uma curva fechada, aplicamos a propriedade mencionada:
Resposta
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Calcule a integral de linha do campo singular
Calcule a integral de linha do campo singular
Aqui consideramos
orientada compativelmente respeito a orientação de
Calcule
onde
é a curva definida por
como
orientada no sentido decrescente de
.
Considere o campo
calcule a integral de linha
onde
é a interseção da superfície
com
com o plano
orientada como
crescente.